Lösung von Aufgabe 5.04 S SoSe 13

Aufgabe 5.04 Satz I: Je drei nicht kollineare Punkte sind paarweise verschieden. Wir formulieren Satz I neu und beginnen mit „Es seien $A$, $B$ und $C$ drei Punkte.“ Ergänzen Sie: „Wenn $A$,$B$ und $C$ … , dann … .“ Beweisen Sie Satz I indirekt mit Widerspruch. Bilden Sie die Kontraposition von Satz I. Beweisen Sie auch die Kontraposition von Satz I. Formulieren Sie die Umkehrung von Satz I. Gilt auch die Umkehrung von Satz I? Lösung User --Userin24 20:37, 28. Mai 2013 (CEST) 1. Es seien A, B und C drei Punkte. Wenn A, B und C nicht kollinear sind, dann sind sie paarweise verschieden. 2. Annahme: A, B und C sind nicht paarweise verschieden Annahme impliziert: mind. 2 Punkte sind identisch Widerspruch zur Voraussetzung, dass A, B und C kollinear sind 3. Wenn A, B und C kollinear sind, dann sind sie nicht paarweise verschieden. 4. koll(A, B, C) impliziert: es gibt eine Gerade g, mit der alle drei Punkte inzidieren A, B und C sind deshalb nicht paarweise verschieden. 5. A, B und C sind paarweise verschieden, wenn sie nicht kollinear sind. 6. Ja --Userin24 20:37, 28. Mai 2013 (CEST) Bemerkung --*m.g.* 23:12, 28. Mai 2013 (CEST) 1. korrekt 2. Der Ansatz geht in Ordnung, es bedarf einer genaueren Begründung. 3. korrekt 4. wie bei 2. 5. Das ist nicht die Umkehrung.(auch wenn es zunächst so aussieht) 6. Folgefehler, da 5. nicht korrekt gelöst. Lösung User --Illu13 22:40, 30. Mai 2013 (CEST) zu 2. Annahme: Drei Punkte A,B,C sind nicht paarweise verschieden. $\Rightarrow$ $\ A = B \vee A = C \vee B = C$ 1. Fall: A = B = C trivial. 2. Fall: nur zwei der drei Punkte sind identisch (o.B.d.A. A = B $\neq$ C) $\Rightarrow$ (Axiom I/2) $\exists$Gerade g: A $\in$ g $\wedge$ C $\in$ g (Gerade {A,C}) und $\exists$Gerade h: B $\in$ h $\wedge$ C $\in$ h (Gerade {B,C}) Da wir A = B angenommen haben, folgt daraus g = h. $\Rightarrow$ koll(A,B,C) $\Rightarrow$ Widerspruch zur Voraussetzung. q.e.d. zu 4. Annahme: Drei Punkte A,B,C sind paarweise verschieden. $\Rightarrow$ (Axiom I/3) Die Punkte A,B,C indizieren nicht gemeinsam mit der selben Geraden. $\Rightarrow$ nkoll(A,B,C), was ein Widerspruch zur Voraussetzung ist. zu 5. Wenn drei Punkte paarweise verschieden sind, dann sind sie nicht kollinear. zu 6. Stimmt nicht, da alle Punkte auf derselben Geraden liegen könnten. (Dies wäre übrigens ein Sonderfall für den Beweis oben (s.4.).) --Illu13 22:40, 30. Mai 2013 (CEST) Lösung User ... zurück zu Serie 5 SoSe 2013