Lösung von Zusatzaufgabe 11.2P (SoSe 13): Unterschied zwischen den Versionen
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+ | Sorry, habe währenddessen eine eigene Version erarbeitet.<br /> | ||
+ | Ist eine solche ausführliche Voraussetzung erlaubt?<br /> | ||
+ | Der Beweis ist sehr lang geworden.<br /> | ||
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+ | '''Voraussetzung''':<br /> | ||
+ | Sa∘Sb(P) = P''(zweistrich) mit a || b<br /> | ||
+ | mit koll(P,P',P''(zweistrich)<br /> | ||
+ | mit P,P',P''(zweistrich) ∈ g<br /> | ||
+ | mit g ⊥ a ∧ g ⊥ b<br /> | ||
+ | mit g ∩ a = {M} ∧ g ∩ b = {N} --[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 18:17, 12. Jul. 2013 (CEST)<br /> | ||
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+ | '''Behauptung''':<br /> | ||
+ | |P͞P''(zweistrich)| = 2|ab| ≌ 2(|MP'| + |P'N|) --[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 18:17, 12. Jul. 2013 (CEST)<br /> | ||
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+ | |- style="background: #DDFFDD;" | ||
+ | ! | ||
+ | ! Beweisschritt | ||
+ | ! Begründung | ||
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+ | | 1) | ||
+ | | koll(P,P',P''(zweistrich) | ||
+ | | Eigenschaft GS; Voraussetzung | ||
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+ | | 2) | ||
+ | | P' = Sa(P) | ||
+ | | Def. GS; Voraussetzung | ||
+ | |- | ||
+ | | 3) | ||
+ | | P''(zweistrich) = Sb(P') | ||
+ | | Def. GS; Voraussetzung | ||
+ | |- | ||
+ | | 4) | ||
+ | | |P͞M͞| ≌ |M͞P͞'| | ||
+ | | (1); (2); Voraussetzung; Streckentreue d. GS bzw. Abstandserhaltung | ||
+ | |- | ||
+ | | 5) | ||
+ | | |P͞'N͞| ≌ |N͞P͞''|(zweistrich) | ||
+ | | (1); (2); (3); Voraussetzung; Streckentreue d. GS bzw. Abstandserhaltung | ||
+ | |- | ||
+ | | 6) | ||
+ | | |M͞P͞'| + |P͞'N͞| = |ab| | ||
+ | | (4); (5); Streckenaddition bzw. Abstandsaddition; Rechnen in ℝ | ||
+ | |- | ||
+ | | 7) | ||
+ | | |P͞M͞| ≌ |N͞P͞''|(zweistrich) ≌ |M͞P͞'| + |P͞'N͞| | ||
+ | | (4); (5); (6); Streckenaddition bzw. Abstandsaddition; Rechnen in ℝ; Eigenschaft der Translation | ||
+ | |- | ||
+ | | 8) | ||
+ | | 2(|M͞P͞'| + |P͞'N͞|) ≌ |P͞P͞''|(zweistrich) | ||
+ | | (6); (7); Streckenaddition bzw. Abstandsaddition; Rechnen in ℝ; Eigenschaft der Translation | ||
+ | |- | ||
+ | | 9) | ||
+ | | |P͞P͞''|(zweistrich) ≌ 2|ab| | ||
+ | | (6); (7); (8) q.e.d | ||
+ | |}--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 18:17, 12. Jul. 2013 (CEST) | ||
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[[Kategorie:Einführung_P]]<br /> | [[Kategorie:Einführung_P]]<br /> |
Version vom 12. Juli 2013, 18:17 Uhr
Beweisen Sie Satz IX.9:
Gegeben seien zwei zueinander parallele Spiegelgeraden a und b. Wir betrachten die Verkettung . Jeder Punkt P hat dabei zu seinem Bildpunkt einen Abstand der doppelt so groß ist wie der Abstand der beiden Spiegelgeraden.
Hinweis: Hier genügt ein exemplarischer Beweis für eine mögliche Lage von P. Nehmen wir doch mal an, P und seine Spiegelpunkte liegen so:
--Tutorin Anne 17:30, 12. Jul. 2013 (CEST)
Voraussetzung | ... |
Behauptung | .... |
Nr. | Beweisschritt | Begründung |
---|---|---|
1 | ...) | ... |
2 | ... | ... |
3 | ... | ... |
4 | ... | ... |
... | ... | ... |
... | ... | ... |
Sorry, habe währenddessen eine eigene Version erarbeitet.
Ist eine solche ausführliche Voraussetzung erlaubt?
Der Beweis ist sehr lang geworden.
Voraussetzung:
Sa∘Sb(P) = P(zweistrich) mit a || b
mit koll(P,P',P(zweistrich)
mit P,P',P(zweistrich) ∈ g
mit g ⊥ a ∧ g ⊥ b
mit g ∩ a = {M} ∧ g ∩ b = {N} --Nolessonlearned 18:17, 12. Jul. 2013 (CEST)
Behauptung:
|P͞P(zweistrich)| = 2|ab| ≌ 2(|MP'| + |P'N|) --Nolessonlearned 18:17, 12. Jul. 2013 (CEST)
Beweisschritt | Begründung | |
---|---|---|
1) | koll(P,P',P(zweistrich) | Eigenschaft GS; Voraussetzung |
2) | P' = Sa(P) | Def. GS; Voraussetzung |
3) | P(zweistrich) = Sb(P') | Def. GS; Voraussetzung |
4) | P͞M͞| ≌ |M͞P͞'| | (1); (2); Voraussetzung; Streckentreue d. GS bzw. Abstandserhaltung |
5) | P͞'N͞| ≌ |N͞P͞|(zweistrich) | (1); (2); (3); Voraussetzung; Streckentreue d. GS bzw. Abstandserhaltung |
6) | M͞P͞'| + |P͞'N͞| = |ab| | (4); (5); Streckenaddition bzw. Abstandsaddition; Rechnen in ℝ |
7) | P͞M͞| ≌ |N͞P͞|(zweistrich) ≌ |M͞P͞'| + |P͞'N͞| | (4); (5); (6); Streckenaddition bzw. Abstandsaddition; Rechnen in ℝ; Eigenschaft der Translation |
8) | M͞P͞'| + |P͞'N͞|) ≌ |P͞P͞|(zweistrich) | (6); (7); Streckenaddition bzw. Abstandsaddition; Rechnen in ℝ; Eigenschaft der Translation |
9) | P͞P͞|(zweistrich) ≌ 2|ab| | (6); (7); (8) q.e.d |