Lösung von Aufgabe 11.3: Unterschied zwischen den Versionen
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(Die Seite wurde neu angelegt: Beweisen Sie den Kongruenzsatz SSS. Vor.: :<math>\overline{ABC}, \overline{DEF},</math> :<math>\overline{AB} \cong \overline{DE} \ \land \ \overline{BC} \cong \overli...) |
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::Satz: Liegt ein Punkt <math>\ P</math> auf der Mittelsenkrechten <math>\ m</math> der Strecke <math>\overline{AB}</math>, dann und nur dann hat er von <math>\ A</math> und <math>\ B</math> den gleichen Abstand. | ::Satz: Liegt ein Punkt <math>\ P</math> auf der Mittelsenkrechten <math>\ m</math> der Strecke <math>\overline{AB}</math>, dann und nur dann hat er von <math>\ A</math> und <math>\ B</math> den gleichen Abstand. | ||
:<math>\ A</math> hat ja nun den gleichen Abstand von <math>\ C</math> wie von <math>\ P</math>, also <math>\ |AC| = |AP|</math>. | :<math>\ A</math> hat ja nun den gleichen Abstand von <math>\ C</math> wie von <math>\ P</math>, also <math>\ |AC| = |AP|</math>. | ||
− | :Für <math>\ B</math> gilt | + | :Für <math>\ B</math> gilt Entsprechendes, also <math>\ |BC| = |BP|</math>. |
:Nach dem Satz liegen also <math>\ A</math> und <math>\ B</math> auf der Mittelsenkrechten von <math>\overline{CP}</math>. Es ist sogar so, dass die Gerade <math>\ AB</math> die Mittelsenkrechte von <math>\overline{CP}</math> ist (Begr.: irgendein Inzidenzaxiom). | :Nach dem Satz liegen also <math>\ A</math> und <math>\ B</math> auf der Mittelsenkrechten von <math>\overline{CP}</math>. Es ist sogar so, dass die Gerade <math>\ AB</math> die Mittelsenkrechte von <math>\overline{CP}</math> ist (Begr.: irgendein Inzidenzaxiom). | ||
:Nach Def. der Mittelsenkrechten ist der Schnittpunkt <math>\ M</math> von <math>\ AB</math> und <math>\overline{CP}</math> der Mittelpunkt von <math>\overline{CP}</math>, d.h. <math>|CM| = |MP|</math> bzw. <math>\overline{CM} \cong \overline{MP}</math>. | :Nach Def. der Mittelsenkrechten ist der Schnittpunkt <math>\ M</math> von <math>\ AB</math> und <math>\overline{CP}</math> der Mittelpunkt von <math>\overline{CP}</math>, d.h. <math>|CM| = |MP|</math> bzw. <math>\overline{CM} \cong \overline{MP}</math>. | ||
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:Mit dieser Winkelkongruenz sind wir nur noch wenige Schritte vom Ziel entfernt. | :Mit dieser Winkelkongruenz sind wir nur noch wenige Schritte vom Ziel entfernt. | ||
:Wegen des Kongruenzaxioms sws wissen wir nun, dass die Dreiecke <math>\overline{ACM}</math> und <math>\overline{AMP}</math> kongruent sind, denn es gilt: <math>\overline{CM} \cong \overline{MP} \ \land \ \angle AMC \cong \angle AMP \ \land \ \overline{AM} \cong \overline{AM}</math>. | :Wegen des Kongruenzaxioms sws wissen wir nun, dass die Dreiecke <math>\overline{ACM}</math> und <math>\overline{AMP}</math> kongruent sind, denn es gilt: <math>\overline{CM} \cong \overline{MP} \ \land \ \angle AMC \cong \angle AMP \ \land \ \overline{AM} \cong \overline{AM}</math>. | ||
+ | :Nach der Def. der Dreieckskongruenz sind dann auch die Winkel <math>\angle CAM</math> und <math>\angle MAP</math> kongruent. | ||
+ | :Jetzt sieht es jeder, aber der Vollständigkeit halber sollte man noch zeigen, dass diese Winkel die gleichen sind wie die, die wir vorhin schon gemeint haben. | ||
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+ | z.z.: | ||
+ | :<math>\angle CAM \equiv \angle BAC \ \land \ \angle MAP \equiv \angle BAP</math> | ||
+ | :Der Winkel <math>\angle CAM</math> besteht aus den Schenkeln <math>\ AC^+</math> und <math>\ AM^+</math>. Wir wissen aber, dass <math>\ M</math> auf <math>\ AB</math> liegt. Also ist <math>\ AM^+</math> identisch mit <math>\ AB^+</math>. Also auch <math>\angle CAM \equiv \angle CAB \equiv \angle BAC</math>. | ||
+ | :Entsprechendes gilt für <math>\angle MAP</math>, also <math>\angle MAP \equiv \angle BAP</math>. | ||
+ | q.e.d. |
Version vom 1. Juli 2010, 00:12 Uhr
Beweisen Sie den Kongruenzsatz SSS.
Vor.:
Beh.:
Bew.:
- Es ex. ein Strahl mit und bzw. (Begr.: Winkelkonstruktionsaxiom).
- Es ex außerdem ein Punkt mit und bzw. (Begr.: Axiom vom Lineal).
- Wir haben nun also ein Dreieck konstruiert, dass kongruent zu ist. Denn es gilt ja . Jetzt genügt es zu zeigen, kongruent zu ist. Denn die Kongruenz ist transitiv, es würde daraus also auch folgen.
z.z.:
- Dafür wiederum genügt es nach dem Kongruenzaxiom sws zu zeigen, dass .
- Nach Vor. gilt .
- (Begr.: Transitivität, eigentlich fast trivial)
- Kongruenz ist reflexiv, also ist auch klar, dass gilt.
- Also bleibt nun noch
z.z.:
- Fürs weitere Vorgehen wieder eine kurze Feststellung, die eigentlich jeder sieht:
- (Vor.)
- Ich gehe davon aus, dass der folgende Satz gilt, ohne ihn jetzt zu beweisen:
- Satz: Liegt ein Punkt auf der Mittelsenkrechten der Strecke , dann und nur dann hat er von und den gleichen Abstand.
- hat ja nun den gleichen Abstand von wie von , also .
- Für gilt Entsprechendes, also .
- Nach dem Satz liegen also und auf der Mittelsenkrechten von . Es ist sogar so, dass die Gerade die Mittelsenkrechte von ist (Begr.: irgendein Inzidenzaxiom).
- Nach Def. der Mittelsenkrechten ist der Schnittpunkt von und der Mittelpunkt von , d.h. bzw. .
- Nach Def. gilt außerdem , d.h. die entstehenden Winkel sind rechte Winkel.
- Nun gilt nach Def. vom rechten Winkel, dass sie gleich groß sind bzw. damit auch kongruent, also .
- Mit dieser Winkelkongruenz sind wir nur noch wenige Schritte vom Ziel entfernt.
- Wegen des Kongruenzaxioms sws wissen wir nun, dass die Dreiecke und kongruent sind, denn es gilt: .
- Nach der Def. der Dreieckskongruenz sind dann auch die Winkel und kongruent.
- Jetzt sieht es jeder, aber der Vollständigkeit halber sollte man noch zeigen, dass diese Winkel die gleichen sind wie die, die wir vorhin schon gemeint haben.
z.z.:
- Der Winkel besteht aus den Schenkeln und . Wir wissen aber, dass auf liegt. Also ist identisch mit . Also auch .
- Entsprechendes gilt für , also .
q.e.d.