Lösung von Aufgabe 11.3: Unterschied zwischen den Versionen
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(Die Seite wurde neu angelegt: Beweisen Sie den Kongruenzsatz SSS. Vor.: :<math>\overline{ABC}, \overline{DEF},</math> :<math>\overline{AB} \cong \overline{DE} \ \land \ \overline{BC} \cong \overli...) |
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::Satz: Liegt ein Punkt <math>\ P</math> auf der Mittelsenkrechten <math>\ m</math> der Strecke <math>\overline{AB}</math>, dann und nur dann hat er von <math>\ A</math> und <math>\ B</math> den gleichen Abstand. | ::Satz: Liegt ein Punkt <math>\ P</math> auf der Mittelsenkrechten <math>\ m</math> der Strecke <math>\overline{AB}</math>, dann und nur dann hat er von <math>\ A</math> und <math>\ B</math> den gleichen Abstand. | ||
:<math>\ A</math> hat ja nun den gleichen Abstand von <math>\ C</math> wie von <math>\ P</math>, also <math>\ |AC| = |AP|</math>. | :<math>\ A</math> hat ja nun den gleichen Abstand von <math>\ C</math> wie von <math>\ P</math>, also <math>\ |AC| = |AP|</math>. | ||
− | :Für <math>\ B</math> gilt | + | :Für <math>\ B</math> gilt Entsprechendes, also <math>\ |BC| = |BP|</math>. |
:Nach dem Satz liegen also <math>\ A</math> und <math>\ B</math> auf der Mittelsenkrechten von <math>\overline{CP}</math>. Es ist sogar so, dass die Gerade <math>\ AB</math> die Mittelsenkrechte von <math>\overline{CP}</math> ist (Begr.: irgendein Inzidenzaxiom). | :Nach dem Satz liegen also <math>\ A</math> und <math>\ B</math> auf der Mittelsenkrechten von <math>\overline{CP}</math>. Es ist sogar so, dass die Gerade <math>\ AB</math> die Mittelsenkrechte von <math>\overline{CP}</math> ist (Begr.: irgendein Inzidenzaxiom). | ||
:Nach Def. der Mittelsenkrechten ist der Schnittpunkt <math>\ M</math> von <math>\ AB</math> und <math>\overline{CP}</math> der Mittelpunkt von <math>\overline{CP}</math>, d.h. <math>|CM| = |MP|</math> bzw. <math>\overline{CM} \cong \overline{MP}</math>. | :Nach Def. der Mittelsenkrechten ist der Schnittpunkt <math>\ M</math> von <math>\ AB</math> und <math>\overline{CP}</math> der Mittelpunkt von <math>\overline{CP}</math>, d.h. <math>|CM| = |MP|</math> bzw. <math>\overline{CM} \cong \overline{MP}</math>. | ||
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:Mit dieser Winkelkongruenz sind wir nur noch wenige Schritte vom Ziel entfernt. | :Mit dieser Winkelkongruenz sind wir nur noch wenige Schritte vom Ziel entfernt. | ||
:Wegen des Kongruenzaxioms sws wissen wir nun, dass die Dreiecke <math>\overline{ACM}</math> und <math>\overline{AMP}</math> kongruent sind, denn es gilt: <math>\overline{CM} \cong \overline{MP} \ \land \ \angle AMC \cong \angle AMP \ \land \ \overline{AM} \cong \overline{AM}</math>. | :Wegen des Kongruenzaxioms sws wissen wir nun, dass die Dreiecke <math>\overline{ACM}</math> und <math>\overline{AMP}</math> kongruent sind, denn es gilt: <math>\overline{CM} \cong \overline{MP} \ \land \ \angle AMC \cong \angle AMP \ \land \ \overline{AM} \cong \overline{AM}</math>. | ||
+ | :Nach der Def. der Dreieckskongruenz sind dann auch die Winkel <math>\angle CAM</math> und <math>\angle MAP</math> kongruent. | ||
+ | :Jetzt sieht es jeder, aber der Vollständigkeit halber sollte man noch zeigen, dass diese Winkel die gleichen sind wie die, die wir vorhin schon gemeint haben. | ||
+ | <br /> | ||
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+ | z.z.: | ||
+ | :<math>\angle CAM \equiv \angle BAC \ \land \ \angle MAP \equiv \angle BAP</math> | ||
+ | :Der Winkel <math>\angle CAM</math> besteht aus den Schenkeln <math>\ AC^+</math> und <math>\ AM^+</math>. Wir wissen aber, dass <math>\ M</math> auf <math>\ AB</math> liegt. Also ist <math>\ AM^+</math> identisch mit <math>\ AB^+</math>. Also auch <math>\angle CAM \equiv \angle CAB \equiv \angle BAC</math>. | ||
+ | :Entsprechendes gilt für <math>\angle MAP</math>, also <math>\angle MAP \equiv \angle BAP</math>. | ||
+ | q.e.d. |
Version vom 1. Juli 2010, 00:12 Uhr
Beweisen Sie den Kongruenzsatz SSS.
Vor.:
Beh.:
Bew.:
- Es ex. ein Strahl
mit
und
bzw.
(Begr.: Winkelkonstruktionsaxiom).
- Es ex außerdem ein Punkt
mit
und
bzw.
(Begr.: Axiom vom Lineal).
- Wir haben nun also ein Dreieck
konstruiert, dass kongruent zu
ist. Denn es gilt ja
. Jetzt genügt es zu zeigen,
kongruent zu
ist. Denn die Kongruenz ist transitiv, es würde daraus also auch
folgen.
z.z.:
- Dafür wiederum genügt es nach dem Kongruenzaxiom sws zu zeigen, dass
.
- Nach Vor. gilt
.
(Begr.: Transitivität, eigentlich fast trivial)
- Kongruenz ist reflexiv, also ist auch klar, dass
gilt.
- Also bleibt nun noch
z.z.:
- Fürs weitere Vorgehen wieder eine kurze Feststellung, die eigentlich jeder sieht:
(Vor.)
- Ich gehe davon aus, dass der folgende Satz gilt, ohne ihn jetzt zu beweisen:
- Satz: Liegt ein Punkt
auf der Mittelsenkrechten
der Strecke
, dann und nur dann hat er von
und
den gleichen Abstand.
- Satz: Liegt ein Punkt
hat ja nun den gleichen Abstand von
wie von
, also
.
- Für
gilt Entsprechendes, also
.
- Nach dem Satz liegen also
und
auf der Mittelsenkrechten von
. Es ist sogar so, dass die Gerade
die Mittelsenkrechte von
ist (Begr.: irgendein Inzidenzaxiom).
- Nach Def. der Mittelsenkrechten ist der Schnittpunkt
von
und
der Mittelpunkt von
, d.h.
bzw.
.
- Nach Def. gilt außerdem
, d.h. die entstehenden Winkel sind rechte Winkel.
- Nun gilt nach Def. vom rechten Winkel, dass sie gleich groß sind bzw. damit auch kongruent, also
.
- Mit dieser Winkelkongruenz sind wir nur noch wenige Schritte vom Ziel entfernt.
- Wegen des Kongruenzaxioms sws wissen wir nun, dass die Dreiecke
und
kongruent sind, denn es gilt:
.
- Nach der Def. der Dreieckskongruenz sind dann auch die Winkel
und
kongruent.
- Jetzt sieht es jeder, aber der Vollständigkeit halber sollte man noch zeigen, dass diese Winkel die gleichen sind wie die, die wir vorhin schon gemeint haben.
z.z.:
- Der Winkel
besteht aus den Schenkeln
und
. Wir wissen aber, dass
auf
liegt. Also ist
identisch mit
. Also auch
.
- Entsprechendes gilt für
, also
.
q.e.d.