Lösung von Aufgabe 11.3: Unterschied zwischen den Versionen
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:Es ex. ein Strahl <math>\ AQ^+</math> mit <math>Q \in ABC^-</math> und <math>|\angle BAQ| = |\angle EDF|</math> bzw. <math>\angle BAQ \cong \angle EDF</math> (Begr.: Winkelkonstruktionsaxiom). | :Es ex. ein Strahl <math>\ AQ^+</math> mit <math>Q \in ABC^-</math> und <math>|\angle BAQ| = |\angle EDF|</math> bzw. <math>\angle BAQ \cong \angle EDF</math> (Begr.: Winkelkonstruktionsaxiom). | ||
− | :Es ex außerdem ein Punkt <math>\ P</math> mit <math>P \in AQ^+</math> und <math>\ |AP| = |DF|</math> bzw. <math>\overline{AP} \cong \overline{DF}</math> (Begr.: Axiom vom Lineal). | + | :Es ex. außerdem ein Punkt <math>\ P</math> mit <math>P \in AQ^+</math> und <math>\ |AP| = |DF|</math> bzw. <math>\overline{AP} \cong \overline{DF}</math> (Begr.: Axiom vom Lineal). |
:Wir haben nun also ein Dreieck <math>\overline{ABP}</math> konstruiert, dass kongruent zu <math>\overline{DEF}</math> ist. Denn es gilt ja <math>\overline{AB} \cong \overline{DE} \ \land \ \angle BAQ \cong \angle EDF \ \land \ \overline{AP} \cong \overline{DF}</math>. Jetzt genügt es zu zeigen, <math>\overline{ABC}</math> kongruent zu <math>\overline{ABP}</math> ist. Denn die Kongruenz ist transitiv, es würde daraus also auch <math>\overline{ABC} \cong \overline{DEF}</math> folgen. | :Wir haben nun also ein Dreieck <math>\overline{ABP}</math> konstruiert, dass kongruent zu <math>\overline{DEF}</math> ist. Denn es gilt ja <math>\overline{AB} \cong \overline{DE} \ \land \ \angle BAQ \cong \angle EDF \ \land \ \overline{AP} \cong \overline{DF}</math>. Jetzt genügt es zu zeigen, <math>\overline{ABC}</math> kongruent zu <math>\overline{ABP}</math> ist. Denn die Kongruenz ist transitiv, es würde daraus also auch <math>\overline{ABC} \cong \overline{DEF}</math> folgen. | ||
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:Für <math>\ B</math> gilt Entsprechendes, also <math>\ |BC| = |BP|</math>. | :Für <math>\ B</math> gilt Entsprechendes, also <math>\ |BC| = |BP|</math>. | ||
:Nach dem Satz liegen also <math>\ A</math> und <math>\ B</math> auf der Mittelsenkrechten von <math>\overline{CP}</math>. Es ist sogar so, dass die Gerade <math>\ AB</math> die Mittelsenkrechte von <math>\overline{CP}</math> ist (Begr.: irgendein Inzidenzaxiom). | :Nach dem Satz liegen also <math>\ A</math> und <math>\ B</math> auf der Mittelsenkrechten von <math>\overline{CP}</math>. Es ist sogar so, dass die Gerade <math>\ AB</math> die Mittelsenkrechte von <math>\overline{CP}</math> ist (Begr.: irgendein Inzidenzaxiom). | ||
− | :Nach Def. der Mittelsenkrechten ist der Schnittpunkt <math>\ M</math> von <math>\ AB</math> und <math>\overline{CP}</math> der Mittelpunkt von <math>\overline{CP}</math>, d.h. <math>|CM| = |MP|</math> bzw. <math>\overline{CM} \cong \overline{MP}</math>. | + | :Nach Def. der Mittelsenkrechten ist der Schnittpunkt <math>\ M</math> von <math>\ AB</math> und <math>\overline{CP}</math> der Mittelpunkt von <math>\overline{CP}</math>, d.h. <math>\ |CM| = |MP|</math> bzw. <math>\overline{CM} \cong \overline{MP}</math>. |
:Nach Def. gilt außerdem <math>AB \perp \overline{CP}</math>, d.h. die entstehenden Winkel sind rechte Winkel. | :Nach Def. gilt außerdem <math>AB \perp \overline{CP}</math>, d.h. die entstehenden Winkel sind rechte Winkel. | ||
:Nun gilt nach Def. vom rechten Winkel, dass sie gleich groß sind bzw. damit auch kongruent, also <math>\angle AMC \cong \angle BMC \cong \angle BMP \cong \angle AMP</math>. | :Nun gilt nach Def. vom rechten Winkel, dass sie gleich groß sind bzw. damit auch kongruent, also <math>\angle AMC \cong \angle BMC \cong \angle BMP \cong \angle AMP</math>. |
Version vom 1. Juli 2010, 01:01 Uhr
Beweisen Sie den Kongruenzsatz SSS.
Vor.:
Beh.:
Bew.:
- Es ex. ein Strahl
mit
und
bzw.
(Begr.: Winkelkonstruktionsaxiom).
- Es ex. außerdem ein Punkt
mit
und
bzw.
(Begr.: Axiom vom Lineal).
- Wir haben nun also ein Dreieck
konstruiert, dass kongruent zu
ist. Denn es gilt ja
. Jetzt genügt es zu zeigen,
kongruent zu
ist. Denn die Kongruenz ist transitiv, es würde daraus also auch
folgen.
z.z.:
- Dafür wiederum genügt es nach dem Kongruenzaxiom sws zu zeigen, dass
.
- Nach Vor. gilt
.
(Begr.: Transitivität, eigentlich fast trivial)
- Kongruenz ist reflexiv, also ist auch klar, dass
gilt.
- Also bleibt nun noch
z.z.:
- Fürs weitere Vorgehen wieder eine kurze Feststellung, die eigentlich jeder sieht:
(Vor.)
- Ich gehe davon aus, dass der folgende Satz gilt, ohne ihn jetzt zu beweisen:
- Satz: Liegt ein Punkt
auf der Mittelsenkrechten
der Strecke
, dann und nur dann hat er von
und
den gleichen Abstand.
- Satz: Liegt ein Punkt
hat ja nun den gleichen Abstand von
wie von
, also
.
- Für
gilt Entsprechendes, also
.
- Nach dem Satz liegen also
und
auf der Mittelsenkrechten von
. Es ist sogar so, dass die Gerade
die Mittelsenkrechte von
ist (Begr.: irgendein Inzidenzaxiom).
- Nach Def. der Mittelsenkrechten ist der Schnittpunkt
von
und
der Mittelpunkt von
, d.h.
bzw.
.
- Nach Def. gilt außerdem
, d.h. die entstehenden Winkel sind rechte Winkel.
- Nun gilt nach Def. vom rechten Winkel, dass sie gleich groß sind bzw. damit auch kongruent, also
.
- Mit dieser Winkelkongruenz sind wir nur noch wenige Schritte vom Ziel entfernt.
- Wegen des Kongruenzaxioms sws wissen wir nun, dass die Dreiecke
und
kongruent sind, denn es gilt:
.
- Nach der Def. der Dreieckskongruenz sind dann auch die Winkel
und
kongruent.
- Jetzt sieht es jeder, aber der Vollständigkeit halber sollte man noch zeigen, dass diese Winkel die gleichen sind wie die, die wir vorhin schon gemeint haben.
z.z.:
- Der Winkel
besteht aus den Schenkeln
und
. Wir wissen aber, dass
auf
liegt. Also ist
identisch mit
. Also auch
.
- Entsprechendes gilt für
, also
.
q.e.d.