Lösung von Aufgabe 11.3: Unterschied zwischen den Versionen
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:Dafür wiederum genügt es nach dem Kongruenzaxiom sws zu zeigen, dass <math>\overline{AC} \cong \overline{AP} \ \land \ \angle BAC \cong \angle BAP \ \land \ \overline{AB} \cong \overline{AB}</math>. | :Dafür wiederum genügt es nach dem Kongruenzaxiom sws zu zeigen, dass <math>\overline{AC} \cong \overline{AP} \ \land \ \angle BAC \cong \angle BAP \ \land \ \overline{AB} \cong \overline{AB}</math>. | ||
:Nach Vor. gilt <math>\overline{AC} \cong \overline{DF}</math>. | :Nach Vor. gilt <math>\overline{AC} \cong \overline{DF}</math>. | ||
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:Fürs weitere Vorgehen wieder eine kurze Feststellung, die eigentlich jeder sieht: | :Fürs weitere Vorgehen wieder eine kurze Feststellung, die eigentlich jeder sieht: | ||
:<math>\overline{DEF} \cong \overline{ABP} \ \Rightarrow \ \overline{EF} \cong \overline{BP}</math> | :<math>\overline{DEF} \cong \overline{ABP} \ \Rightarrow \ \overline{EF} \cong \overline{BP}</math> | ||
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:Der Winkel <math>\angle CAM</math> besteht aus den Schenkeln <math>\ AC^+</math> und <math>\ AM^+</math>. Wir wissen aber, dass <math>\ M</math> auf <math>\ AB</math> liegt. Also ist <math>\ AM^+</math> identisch mit <math>\ AB^+</math>. Also auch <math>\angle CAM \equiv \angle CAB \equiv \angle BAC</math>. | :Der Winkel <math>\angle CAM</math> besteht aus den Schenkeln <math>\ AC^+</math> und <math>\ AM^+</math>. Wir wissen aber, dass <math>\ M</math> auf <math>\ AB</math> liegt. Also ist <math>\ AM^+</math> identisch mit <math>\ AB^+</math>. Also auch <math>\angle CAM \equiv \angle CAB \equiv \angle BAC</math>. | ||
:Entsprechendes gilt für <math>\angle MAP</math>, also <math>\angle MAP \equiv \angle BAP</math>. | :Entsprechendes gilt für <math>\angle MAP</math>, also <math>\angle MAP \equiv \angle BAP</math>. | ||
q.e.d. | q.e.d. |
Version vom 1. Juli 2010, 01:03 Uhr
Beweisen Sie den Kongruenzsatz SSS.
Vor.:
Beh.:
Bew.:
- Es ex. ein Strahl
mit
und
bzw.
(Begr.: Winkelkonstruktionsaxiom).
- Es ex. außerdem ein Punkt
mit
und
bzw.
(Begr.: Axiom vom Lineal).
- Wir haben nun also ein Dreieck
konstruiert, dass kongruent zu
ist. Denn es gilt ja
. Jetzt genügt es zu zeigen,
kongruent zu
ist. Denn die Kongruenz ist transitiv, es würde daraus also auch
folgen.
z.z.:
- Dafür wiederum genügt es nach dem Kongruenzaxiom sws zu zeigen, dass
.
- Nach Vor. gilt
.
(Begr.: Transitivität, eigentlich fast trivial)
- Kongruenz ist reflexiv, also ist auch klar, dass
gilt.
- Also bleibt nun noch
z.z.:
- Fürs weitere Vorgehen wieder eine kurze Feststellung, die eigentlich jeder sieht:
(Vor.)
- Ich gehe davon aus, dass der folgende Satz gilt, ohne ihn jetzt zu beweisen:
- Satz: Liegt ein Punkt
auf der Mittelsenkrechten
der Strecke
, dann und nur dann hat er von
und
den gleichen Abstand.
- Satz: Liegt ein Punkt
hat ja nun den gleichen Abstand von
wie von
, also
.
- Für
gilt Entsprechendes, also
.
- Nach dem Satz liegen also
und
auf der Mittelsenkrechten von
. Es ist sogar so, dass die Gerade
die Mittelsenkrechte von
ist (Begr.: irgendein Inzidenzaxiom).
- Nach Def. der Mittelsenkrechten ist der Schnittpunkt
von
und
der Mittelpunkt von
, d.h.
bzw.
.
- Nach Def. gilt außerdem
, d.h. die entstehenden Winkel sind rechte Winkel.
- Nun gilt nach Def. vom rechten Winkel, dass sie gleich groß sind bzw. damit auch kongruent, also
.
- Mit dieser Winkelkongruenz sind wir nur noch wenige Schritte vom Ziel entfernt.
- Wegen des Kongruenzaxioms sws wissen wir nun, dass die Dreiecke
und
kongruent sind, denn es gilt:
.
- Nach der Def. der Dreieckskongruenz sind dann auch die Winkel
und
kongruent.
- Jetzt sieht es jeder, aber der Vollständigkeit halber sollte man noch zeigen, dass diese Winkel die gleichen sind wie die, die wir vorhin schon gemeint haben.
z.z.:
- Der Winkel
besteht aus den Schenkeln
und
. Wir wissen aber, dass
auf
liegt. Also ist
identisch mit
. Also auch
.
- Entsprechendes gilt für
, also
.
q.e.d.