Lösung von Aufgabe 11.3: Unterschied zwischen den Versionen
Aus Geometrie-Wiki
Zeile 1: | Zeile 1: | ||
Beweisen Sie den Kongruenzsatz SSS. | Beweisen Sie den Kongruenzsatz SSS. | ||
+ | |||
+ | == Lösung 1 == | ||
Vor.: | Vor.: | ||
Zeile 54: | Zeile 56: | ||
:Entsprechendes gilt für <math>\angle MAP</math>, also <math>\angle MAP \equiv \angle BAP</math>. | :Entsprechendes gilt für <math>\angle MAP</math>, also <math>\angle MAP \equiv \angle BAP</math>. | ||
q.e.d. | q.e.d. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | == Lösung 2 == | ||
+ | |||
+ | |||
+ | Vor.: | ||
+ | :<math>\overline{AB_1C_1}, \overline{AB_2C_2},</math> | ||
+ | :<math>\overline{AB_1} \cong \overline{AB_2} \ \land \ \overline{AC_1} \cong \overline{AC_2} \ \land \ \overline{B_1C_1} \cong \overline{B_2C_2}</math> | ||
+ | <br /> | ||
+ | |||
+ | Beh.: | ||
+ | :<math>\overline{AB_1C_1} \cong \overline{AB_2C_2}</math> | ||
+ | <br /> | ||
+ | [[Bild:Geo_Übung_11_3.png|400px]]<br /> | ||
+ | <br /> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | {| class="wikitable" | ||
+ | |- | ||
+ | | No. || Schritt || Begründung | ||
+ | |- | ||
+ | | 1 || Es existiert ein Punkt <math>C_2</math> für den gilt <math>\overline{AC_2} = \overline{AC_1},</math> ||Satz III.1: Jede Strecke hat einen und nur einen Mittelpunkt. <math>\A</math> ist Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{C_1C_2}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |- | ||
+ | | 2 || Schritt || Begründung | ||
+ | |- | ||
+ | |} |
Version vom 7. Juli 2010, 16:04 Uhr
Beweisen Sie den Kongruenzsatz SSS.
Lösung 1
Vor.:
Beh.:
Bew.:
- Es ex. ein Strahl
mit
und
bzw.
(Begr.: Winkelkonstruktionsaxiom).
- Es ex. außerdem ein Punkt
mit
und
bzw.
(Begr.: Axiom vom Lineal).
- Wir haben nun also ein Dreieck
konstruiert, dass kongruent zu
ist. Denn es gilt ja
. Jetzt genügt es zu zeigen,
kongruent zu
ist. Denn die Kongruenz ist transitiv, es würde daraus also auch
folgen.
z.z.:
- Dafür wiederum genügt es nach dem Kongruenzaxiom sws zu zeigen, dass
.
- Nach Vor. gilt
.
(Begr.: Transitivität, eigentlich fast trivial)
- Kongruenz ist reflexiv, also ist auch klar, dass
gilt.
- Also bleibt nun noch
z.z.:
- Fürs weitere Vorgehen wieder eine kurze Feststellung, die eigentlich jeder sieht:
(Vor.)
- Ich gehe davon aus, dass der folgende Satz gilt, ohne ihn jetzt zu beweisen:
- Satz: Liegt ein Punkt
auf der Mittelsenkrechten
der Strecke
, dann und nur dann hat er von
und
den gleichen Abstand.
- Satz: Liegt ein Punkt
hat ja nun den gleichen Abstand von
wie von
, also
.
- Für
gilt Entsprechendes, also
.
- Nach dem Satz liegen also
und
auf der Mittelsenkrechten von
. Es ist sogar so, dass die Gerade
die Mittelsenkrechte von
ist (Begr.: irgendein Inzidenzaxiom).
- Nach Def. der Mittelsenkrechten ist der Schnittpunkt
von
und
der Mittelpunkt von
, d.h.
bzw.
.
- Nach Def. gilt außerdem
, d.h. die entstehenden Winkel sind rechte Winkel.
- Nun gilt nach Def. vom rechten Winkel, dass sie gleich groß sind bzw. damit auch kongruent, also
.
- Mit dieser Winkelkongruenz sind wir nur noch wenige Schritte vom Ziel entfernt.
- Wegen des Kongruenzaxioms sws wissen wir nun, dass die Dreiecke
und
kongruent sind, denn es gilt:
.
- Nach der Def. der Dreieckskongruenz sind dann auch die Winkel
und
kongruent.
- Jetzt sieht es jeder, aber der Vollständigkeit halber sollte man noch zeigen, dass diese Winkel die gleichen sind wie die, die wir vorhin schon gemeint haben.
z.z.:
- Der Winkel
besteht aus den Schenkeln
und
. Wir wissen aber, dass
auf
liegt. Also ist
identisch mit
. Also auch
.
- Entsprechendes gilt für
, also
.
q.e.d.
Lösung 2
Vor.:
Beh.:
No. | Schritt | Begründung |
1 | Es existiert ein Punkt ![]() ![]() |
Satz III.1: Jede Strecke hat einen und nur einen Mittelpunkt. Fehler beim Parsen(Unbekannte Funktion „\A“): \A
ist Mittelpunkt der Strecke
|
2 | Schritt | Begründung |