Der Basiswinkelsatz: Unterschied zwischen den Versionen
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Version vom 1. Juli 2010, 22:20 Uhr
Inhaltsverzeichnis |
Der Basiswinkelsatz
Gleichschenklige Dreiecke
Definition VII.4 : (gleichschenkliges Dreieck)
Das können sie selbst. Bringen Sie in der Definition die Begriffe Basis, Basiswinkel und Schenkel eines gleichschenkligen Dreiecks unter.
Der Basiswinkelsatz
Satz VII.5: Basiswinkelsatz
- In jedem gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel kongruent zueinander.
Für die Schule ok. hier jedoch nicht zugelassen
Es sei 
ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen. o.B.d.A. seien die Seiten 
und 
kongruent zueinander:
Nach der Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunktes einer Strecke existiert der Mittelpunkt 
der Dreiecksseite 
.
Wir werden jetzt zeigen, dass die beiden Teildreiecke 
und 
kongruent zueinander sind:
Nachweis von 
:
| Nr. | Skizze | Beweisschritt | Begründung |
|---|---|---|---|
| (1) | 
|
|
Voraussetzung |
| (2) | 
|
|
ist Mittelpunkt von
|
| (3) | 
|
|
trivial (oder Reflexivität der Kongruenzrelation) |
| (4) | 
|
|
(1), (2), (3), SSS |
Wegen (4) gilt nun auch 
.
w.z.b.w.
Ein schöner einfacher Beweis, leider hat er hier keine Gültigkeit. Warum?
Ein im Rahmen unserer Theorie korrekter Beweis des Basiswinkelsatzes
Probieren Sie ruhig weitere Varianten: Mittelsenkrechte ... . Letztlich hilft nur die Winkelhalbierende. Damit wir uns auf die wesentliche Beweisidee des Basiwinkelsatzes konzentrieren können, schicken wir ein Lemma voraus.
Lemma 1
- Die Winkelhalbierende
eines Winkels 
schneidet die Strecke 
in genau einem Punkt 
.
- Die Winkelhalbierende
Beweis von Lemma 1
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