Definitionen in der Mathematik SoSe 14: Unterschied zwischen den Versionen
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Vereinbarung: Wir setzen ebene Geometrie voraus. | Vereinbarung: Wir setzen ebene Geometrie voraus. | ||
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====Definition K.1: Kreis als spezielle Ellipse==== | ====Definition K.1: Kreis als spezielle Ellipse==== | ||
Version vom 15. Mai 2014, 16:06 Uhr
Das Haus der Vierecke
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Obige Flash-Applikation wurde von Frau Andrea Spitz im Rahmen des Seminars "Erstellen von Multimediaanwendungen für den Unterricht" generiert.
Was ist eine Definition?
- Eine Definition ist in der Mathematik eine Begriffsbestimmung, die nur aus Grundbegriffen oder bereits definierten Begriffen besteht.
- Eine Definition ist nicht beweisbar und damit auch nicht wahr oder falsch sondern höchstens sinnvoll oder nicht sinnvoll.
Anmerkung: Sie können z. B. eine Raute auf verschiedene Arten definieren. Alle Definitionen sollten aber immer die uns bekannte Raute beschreiben und nicht plötzlich eine andere Figur (Fünfeck, Trapez etc.). Das wäre dann natürlich schon falsch! Beispiele für in diesem Sinne falsche Definitionen finden Sie in den Übungen 1. - Eine Definition sollte so wenig wie möglich und so viel wie nötig beinhalten.
Anmerkung: Dabei schwingt immer eine gewisse Unschärfe mit, die sich didaktisch begründen lässt:
Bsp. Definition Rechteck:
Ein Rechteck ist ein Viereck mit drei rechten Innenwinkel.
Diese Definition ist so knapp wie möglich gehalten. Insbesondere genügt es die Eigenschaft: "besitzt drei rechte Innenwinkel" zu beschreiben, da sich der vierte rechte Innenwinkel zwangsläufig ergibt. In der Regel wird man hier aber ein Rechteck als Viereck mit vier rechten Innenwinkel definieren, da diese Definition insbesondere für Schülerinnen und Schüler einsichtiger und griffiger ist.
Genau dasselbe, nur ganz anders: Arten, Definitionen zu formulieren
Es gibt verschiedene Arten, Definitionen zu formulieren.
Beispiel 1: ggT zweier ganzer Zahlen
Die Begriffe Teiler und Euklidischer Algorithmus seien im Folgenden bereits exakt definiert.
Das Übliche, die Realdefinition
- Es seien
und 
zwei ganze Zahlen. 
sei die Menge aller Zahlen, die sowohl Teiler von als auch von sind. Die größte Zahl der Menge heißt größter gemeinsamer Teiler der Zahlen und .
- Es seien
Konventionaldefinition, das Ganze in "wenn-dann"
- Wenn eine Zahl
sowohl die ganze Zahl als auch die ganze Zahl teilt und es keine Zahl 
gibt, die auch und teilt und dabei größer als ist, dann ist der größte gemeinsame Teiler von und .
- Wenn eine Zahl
Schön, aber wie bekomme ich den ggT: die genetisch, operative Definition
- Der letzte von 0 verschiedene Rest, den man bei Anwendung des Euklidischen Algorithmus auf die ganzen Zahlen und erhält, ist der größte gemeinsame Teiler der Zahlen und .
- Der letzte von 0 verschiedene Rest, den man bei Anwendung des Euklidischen Algorithmus auf die ganzen Zahlen
Beispiel 2: Drachenviereck
Die Begriffe Dreieck, Viereck, Diagonale, Eckpunkt, Geradenspiegelung und achsensymmetrisch seien im Folgenden bereits definiert.
Realdefinition
- Ein Viereck, bei dem die eine Diagonale Teilmenge der Mittelsenkrechten seiner anderen Diagonale ist, heißt Drachenviereck.
Konventionaldefinition
- Wenn ein Viereck achsensymmetrisch bezüglich einer Geraden ist, die durch zwei Eckpunkte des Vierecks geht, dann heißt das Viereck Drachenviereck.
genetisch, operative Definition
- Es sei
ein Dreieck und 
das Bild von 
bei der Spiegelung an 
. Das Viereck 
ist ein Drachenviereck.
- Es sei
Ein wenig Didaktik: Definitionen auf verschiedenen Niveaustufen
Aus didaktischer Sicht lassen sich Definitionen auf verschiedenen Niveaustufen formulieren.
Das nachfolgende Skript gibt weitere Informationen:
* Definitionen
Entwicklung einer "neuen" Definition
Im Folgenden wollen wir versuchen, den (ihnen vermutlich wenig geläufigen) Begriff Ellipse zu definieren. Konstruktiv lässt sich eine Ellipse mit Hilfe der sogenannten Gärtnerkonstruktion, wie im folgenden Video, erzeugen.
Bemerkung zu obigem Video: Das geht natürlich noch schöner. Ansporn für Sie?
In einer ersten intuitiven Definition können wir also sagen:
- eine Ellipse, ist eine Figur, die bei der Gärtnerkonstruktion entsteht.
- eine Ellipse ist ein plattgedrückter Kreis.--Schnirch (Diskussion) 15:25, 5. Mai 2014 (CEST)
Das folgende Applet empfindet die Gärtnerkonstruktion nach.
Aufgaben:
- Experimentieren Sie nun mit dem Applet und machen Sie sich dabei die mathematischen Zusammenhänge klar (Tipp: Bewegen Sie den Punkt P und beobachten Sie die Strecken a und b).
Welche Zusammenhänge entdecken Sie?
- Versuchen Sie nun aus den Erkenntnissen eine formale Definition des Begriffs
Ellipse zu entwickeln.
...
- Können Sie nun den Begriff Kreis unter Verwendung des Oberbegriffs Ellipse definieren?
Vereinbarung: Wir setzen ebene Geometrie voraus.
Definition E.1: Ellipse
sind Punkte einer Ebene und c = konstant.
- Dieser Beitrag ist nicht unterschrieben; bitte vergesst das nicht! Sonst weiss man nicht; wer etwas eingefuegt hat. Die Idee ist richtig; aber was ist denn jetzt die Ellipse?
Definition K.1: Kreis als spezielle Ellipse
...
Zurückführen auf bereits vorhanden Definitionen: Verwenden von Oberbegriffen
Das Haus der Vierecke
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Obige Flash-Applikation wurde von Frau Andrea Spitz im Rahmen des Seminars "Erstellen von Multimediaanwendungen für den Unterricht" generiert.
