Auftrag der Woche 4 (WS 16 17): Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 17. November 2016, 14:56 Uhr

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Die Lösung ist korrekt, die Skizze aus didaktischer Sicht suboptimal. Generieren Sie mit Geogebra eine dynamische Applikation, die die korrekte Lösung besser als die obige Skizze unterstützt.

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Inhaltsverzeichnis

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1 Lösung von AlanTu
- 1.1 Konstruktionsbeschreibung
- 1.2 Begründung, warum die Menge genau die Mittelsenkrechte ist
2 Lösung von Tutor Alex
3 2. Lösung von AlanTu

Lösung von AlanTu

Wenn man den Haken bei „Spur“ setzt, erscheint nach und nach die Mittelsenkrechte.

Konstruktionsbeschreibung

Gegeben seien zwei Punkte $A$ und $B$ . Gesucht ist $M:=\{Q|\overline{AQ}\cong\overline{QB}\}$ .

Sei $r\in\mathbb{R}$ fest aber beliebig.

Zeichne einen Kreis $c_r$ mit Radius $r$ um $A$ (die Menge der Punkte mit Abstand $r$ von $A$ ).
Zeichne einen Kreis $d_r$ mit Radius $r$ um $B$ (die Menge der Punkte mit Abstand $r$ von $B$ ).
Bestimme (die Menge der Punkte mit Abstand sowohl von als auch von ) folgendermaßen:
1. Falls kein Schnittpunkt von $c$ und $d$ : Es sei $M_r=\{\}$ .
2. Falls ein Schnittpunkt von $c$ und $d$ : Nenne den Schnittpunkt $Q$ , es sei $M_r=\{Q\}$ .
3. Falls zwei Schnittpunkte von $c$ und $d$ : Nenne die beiden Schnittpunkte $Q_r^1$ und $Q_r^2$ , es sei $M_r=\{Q_r^1,Q_r^2\}$ .

$M$ ergibt sich nun aus der Vereinigung aller $M_r$ für $r\in\mathbb{R}$ , also: $M = \bigcup\limits_{r\in\mathbb{R}}{M_r}$

Begründung, warum die Menge genau die Mittelsenkrechte ist

Betrachtet man nun $r=\frac{\overline{AB}}{2}$ : $Q$ ist der Mittelpunkt von $A$ und $B$ , da er den selben Abstand von beiden Punkten hat.

Betrachtet man nun $r\in\mathbb{R} \wedge r > \overline{QA}$ :

Das Viereck $AQ_r^1BQ_r^2$ bildet eine Raute mit Seitenlänge $r$ .
Da die Diagonalen der Raute sich sowohl halbieren, als auch senkrecht aufeinander stehen, liegen $Q_r^1$ und $Q_r^2$ auf der Mittelsenkrechten von $A$ und $B$ .
Nach dem Satz des Pythagoras ergibt sich $\overline{QQ_r^1} = \overline{QQ_r^2} = \sqrt{r^2 - \overline{QA}^2}$ und da $f(r)=\sqrt{r^2 - \overline{QA}^2}$ für $r > \overline{QA}$ genau einen Wertebereich von $(0,\infty)$ besitzt, ergibt die Vereinigung aller $M_r$ genau die Mittelsenkrechte von $A$ und $B$ ohne den Mittelpunkt von $A$ und $B$ .

Nimmt man also beide Fälle zusammen ergibt sich genau die komplette Mittelsenkrechte von $A$ und $B$ .

Lösung von Tutor Alex

Nachtrag: Falls die GeoGebra Datei hier nicht angezeigt wird, klicke hier.

2. Lösung von AlanTu

@@ Zeile 4: / Zeile 4: @@
 <br><hr><br>
+[{{fullurl:Auftrag der Woche 4 (WS 16 17)|action=purge}} Seite neu laden, falls GeoGebra nicht lädt]
+===Lösung von AlanTu===
 Wenn man den Haken bei „Spur“ setzt, erscheint nach und nach die Mittelsenkrechte.
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---[[Benutzer:AlanTu|AlanTu]] ([[Benutzer Diskussion:AlanTu|Diskussion]]) 10:50, 16. Nov. 2016 (CET)
- Hallo AlanTu,<br />
- ich finde es toll, dass du eine GeoGebra Datei hochgeladen hast.
+====Konstruktionsbeschreibung====
- Sie zeigt durch den Schieberegler und der Spur anschaulich, dass die Mittelsenkrechte eine Punktmenge mit der
+Gegeben seien zwei Punkte <math>A</math> und <math>B</math>. Gesucht ist <math>M:=\{Q|\overline{AQ}\cong\overline{QB}\}</math>.
- oben genannten Eigenschaft ist. Leider bewegen sich aber 2 Punkte in deiner Datei auf der Mittelsenkrechten.
- Du hast sie konstruiert als Schnittpunkte der Kreise um A und B. <br />
+Sei <math>r\in\mathbb{R}</math> fest aber beliebig.
- Anbei habe ich eine GeoGebra Datei erstellt. Überlege, wie habe ich das ''Problem'' gelöst?<br />
+# Zeichne einen Kreis <math>c_r</math> mit Radius <math>r</math> um <math>A</math> (die Menge der Punkte mit Abstand <math>r</math> von <math>A</math>).
- Gruß Alex--[[Benutzer:Tutor: Alex|Tutor: Alex]] ([[Benutzer Diskussion:Tutor: Alex|Diskussion]]) 23:46, 16. Nov. 2016 (CET)
+# Zeichne einen Kreis <math>d_r</math> mit Radius <math>r</math> um <math>B</math> (die Menge der Punkte mit Abstand <math>r</math> von <math>B</math>).
- Nachtrag: Falls die GeoGebra Datei hier nicht angezeigt wird, [https://ggbm.at/uFGVcdT3 klicke hier].
+# Bestimme <math>M_r</math> (die Menge der Punkte mit Abstand <math>r</math> sowohl von <math>A</math> als auch von <math>B</math>) folgendermaßen:
+## Falls kein Schnittpunkt von <math>c</math> und <math>d</math>: Es sei <math>M_r=\{\}</math>.
+## Falls ein Schnittpunkt von <math>c</math> und <math>d</math>: Nenne den Schnittpunkt <math>Q</math>, es sei <math>M_r=\{Q\}</math>.
+## Falls zwei Schnittpunkte von <math>c</math> und <math>d</math>: Nenne die beiden Schnittpunkte <math>Q_r^1</math> und <math>Q_r^2</math>, es sei <math>M_r=\{Q_r^1,Q_r^2\}</math>.
+<math>M</math> ergibt sich nun aus der Vereinigung aller <math>M_r</math> für <math>r\in\mathbb{R}</math>, also: <math>M = \bigcup\limits_{r\in\mathbb{R}}{M_r}</math>
+====Begründung, warum die Menge genau die Mittelsenkrechte ist====
+Betrachtet man nun <math>r=\frac{\overline{AB}}{2}</math>: <math>Q</math> ist der Mittelpunkt von <math>A</math> und <math>B</math>, da er den selben Abstand von beiden Punkten hat.
+Betrachtet man nun <math>r\in\mathbb{R} \wedge r > \overline{QA}</math>:
+* Das Viereck <math>AQ_r^1BQ_r^2</math> bildet eine Raute mit Seitenlänge <math>r</math>.
+* Da die Diagonalen der Raute sich sowohl halbieren, als auch senkrecht aufeinander stehen, liegen <math>Q_r^1</math> und <math>Q_r^2</math> auf der Mittelsenkrechten von <math>A</math> und <math>B</math>.
+* Nach dem Satz des Pythagoras ergibt sich <math>\overline{QQ_r^1} = \overline{QQ_r^2} = \sqrt{r^2 - \overline{QA}^2}</math> und da <math>f(r)=\sqrt{r^2 - \overline{QA}^2}</math> für <math>r > \overline{QA}</math> genau einen Wertebereich von <math>(0,\infty)</math> besitzt, ergibt die Vereinigung aller <math>M_r</math> genau die Mittelsenkrechte von <math>A</math> und <math>B</math> ohne den Mittelpunkt von <math>A</math> und <math>B</math>.
+Nimmt man also beide Fälle zusammen ergibt sich genau die komplette Mittelsenkrechte von <math>A</math> und <math>B</math>.
+===Lösung von Tutor Alex===
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+Nachtrag: Falls die GeoGebra Datei hier nicht angezeigt wird, [https://ggbm.at/uFGVcdT3 klicke hier].
+===2. Lösung von AlanTu===
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 [[Kategorie:Geo_P]]

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