Auftrag der Woche 4 (WS 16 17)

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Die Lösung ist korrekt, die Skizze aus didaktischer Sicht suboptimal. Generieren Sie mit Geogebra eine dynamische Applikation, die die korrekte Lösung besser als die obige Skizze unterstützt.

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Lösung von AlanTu

Wenn man den Haken bei „Spur“ setzt, erscheint nach und nach die Mittelsenkrechte.

Konstruktionsbeschreibung

Gegeben seien zwei Punkte $A$ und $B$. Gesucht ist $M:=\{Q|\overline{AQ}\cong\overline{QB}\}$.

Sei $r\in\mathbb{R}$ fest aber beliebig.

1. Zeichne einen Kreis $c_r$ mit Radius $r$ um $A$ (die Menge der Punkte mit Abstand $r$ von $A$).
2. Zeichne einen Kreis $d_r$ mit Radius $r$ um $B$ (die Menge der Punkte mit Abstand $r$ von $B$).
3. Bestimme $M_r$ (die Menge der Punkte mit Abstand $r$ sowohl von $A$ als auch von $B$) folgendermaßen:
   1. Falls kein Schnittpunkt von $c$ und $d$: Es sei $M_r=\{\}$.
   2. Falls ein Schnittpunkt von $c$ und $d$: Nenne den Schnittpunkt $Q$, es sei $M_r=\{Q\}$.
   3. Falls zwei Schnittpunkte von $c$ und $d$: Nenne die beiden Schnittpunkte $Q_r^1$ und $Q_r^2$, es sei $M_r=\{Q_r^1,Q_r^2\}$.

$M$ ergibt sich nun aus der Vereinigung aller $M_r$ für $r\in\mathbb{R}$, also: $M = \bigcup\limits_{r\in\mathbb{R}}{M_r}$

Begründung, warum die Menge genau die Mittelsenkrechte ist

Betrachtet man nun $r=\frac{\overline{AB}}{2}$: $Q$ ist der Mittelpunkt von $A$ und $B$, da er den selben Abstand von beiden Punkten hat.

Betrachtet man nun $r\in\mathbb{R} \wedge r > \overline{QA}$:

• Das Viereck $AQ_r^1BQ_r^2$ bildet eine Raute mit Seitenlänge $r$.
• Da die Diagonalen der Raute sich sowohl halbieren, als auch senkrecht aufeinander stehen, liegen $Q_r^1$ und $Q_r^2$ auf der Mittelsenkrechten von $A$ und $B$.
• Nach dem Satz des Pythagoras ergibt sich $\overline{QQ_r^1} = \overline{QQ_r^2} = \sqrt{r^2 - \overline{QA}^2}$ und da $f(r)=\sqrt{r^2 - \overline{QA}^2}$ für $r > \overline{QA}$ genau einen Wertebereich von $(0,\infty)$ besitzt, ergibt die Vereinigung aller $M_r$ genau die Mittelsenkrechte von $A$ und $B$ ohne den Mittelpunkt von $A$ und $B$.

Nimmt man also beide Fälle zusammen ergibt sich genau die komplette Mittelsenkrechte von $A$ und $B$.

Lösung von Tutor Alex

Nachtrag: Falls die GeoGebra Datei hier nicht angezeigt wird, klicke hier.

2. Lösung von AlanTu

Konstruiere nach folgender Konstruktionsanleitung jeweils für jeden Winkel $0\leq\alpha<180^\circ$ jeweils einen Punkt $Q$:

• Wähle zwei Punkte $A'$ und $B'$ beliebig, sodass gilt: $\measuredangle{A'BA} = \measuredangle{BAB'} = \alpha$.
• Bestimme den Schnittpunkt $Q$ der Geraden $AB'$ und $BA'$.
• Die Punkte $A$, $B$ und $Q$ bilden dann ein gleichschenkliges Dreieck mit Basis $AB$.

Die Menge aller so konstruierten Punkte $Q$ ist genau $M$, da es genau dann ein solches gleichschenkliges Dreieck gibt, wenn $Q$ den selben Abstand von $A$ und $B$ hat. Dass die Menge ebenfalls gleich der Mittelsenkrechten von $A$ und $B$ ist, lässt sich leicht einsehen, wenn man weiß, dass die Höhe über der Basis von gleichschenkligen Dreiecken immer auf der Mittelsenkrechten der Basis liegt.

Amerkung Tutor Alex

Sehr ausführlich und schön konstruiert ;)
Am Anfang hatte ich auch das Problem, dass wenn ich nur einen Punkt auf der Mittelsenkrechte "ins Unendliche" animieren lasse, ich auf einmal auf der gespiegelten Seite wieder ein Schnittpunkt erhalte. Das hängt aber an GeoGebra.

Mit dem zweiten Schnittpunkt meinte ich denjenigen, den man sieht, wenn man bei deiner Konstruktion die Elemente $f$, $c$ und $C$ einblendet. Die Mühe, bis ins Unendliche zu animieren, hab ich mir garnicht mal gemacht ;-).

Nun haben wir 2 bzw. 3 schöne Konstruktionen, jetzt bleibt noch die Frage offen, was wäre aus didaktischer Sicht die sinnvollste und wieso?

Da würde ich doch entschieden diplomatisch antworten: Kommt drauf an ;P ! Darauf, was man gerade vermitteln will und wie detailliert man in das Thema einsteigen will. Die erste Konstruktion wäre gut, um zu zeigen, wie man Figuren als Punktmengen begreifen kann und wie Schnittmengen und Vereinigungen damit funktionieren. Deine Variante könnte ich mir als Heranführung an Mittelsenkrechten als geometrische Figur vorstellen, allerdings würde ich sie abwandeln, dass $a$ immer positiv ist, einfach damit niemand auf die Idee kommt, Kreise könnten negative Radien haben. Und die letzte wäre meine Wahl, wenn der Klasse noch nicht bekannt ist, wie man Figuren als Mengen begreift. Aber definitiv ist es ein Minuspunkt für diese Aufgabe, dass man bei 90° diese Lücke hat, die man irgendwie ausklammern muss. Wenn man da nicht aufpasst kommt man echt schnell in Erklärungsnöte, weil man da extrem schnell grenzwertig ;P nah an die Unendlichkeit kommt. Auch da man den Winkel zwischen zwei endlichen Werten wandern lässt (einen der Werte noch dazu ausklammert), aber unendlich viele Punkte als Ergebnis bekommt.

Alles in allem bin ich immer noch ein Fan meiner ersten Lösung, insbesondere nachdem ich das beim Schreiben der Konstruktionsanleitung nochmal zu Ende gedacht habe. Das wäre eine super Aufgabe, um verschiedene Themen zu rekapitulieren und zu kombinieren, indem man gemeinsam die Konstruktion en détail durchspricht. Man hat da Figuren als Punktmengen, Satz des Pythagoras, Funktionen und deren Definitions- und Wertebereich, Viereckseigenschaften (Haus der Vierecke), Beweisen durch Konstruktion (mit entsprechender Beschreibung) und mit Fallunterscheidung, praktisches Konstruieren von bestimmten Objekten (hier Mittelsenkrechte) mit Zirkel&Lineal.

D'accord ;) Gruß Alex--Tutor: Alex (Diskussion) 02:45, 19. Nov. 2016 (CET)

Was können die Schülerinnen und Schüler mit solch einer dynamischen Geometriesoftware eigenständig entdecken/erleben/erfahren und somit lernen?

Sie können die selbe Konstruktion schnell für verschiedene Parameter (Kreisradien, Winkel, …) durchspielen, oder auch die Konstruktion ihrer Klassenkameraden nachvollziehen. Wie man ja hier sieht führen oft viele Wege zum Ziel. Durch die Software merkt man finde ich schneller, wenn man etwas richtig oder falsch macht, wenn die Zwischenergebnisse schon gut aussehen, oder im negativen Fall man nicht weiterkommt. Und zu guter Letzt schleichen sich nicht so schnell Ungenauigkeiten beim Zeichnen oder Rechenfehler ein, wie das beim „von Hand“ konstruieren der Fall sein könnte.

Echt toll!

Danke! --AlanTu (Diskussion) 21:14, 17. Nov. 2016 (CET)

Gruß Alex--Tutor: Alex (Diskussion) 19:14, 17. Nov. 2016 (CET)
Nachtrag: Ok, vllt. noch eine kleine Anmerkung: Was ist denn wenn der Fall $\alpha=180^\circ$, so wie in deiner GeoGebra Datei eintritt? Dann haben wir ja Parallelen. In der Euklidischen Geometrie schneiden diese sich niemals, aber in der projektiven bzw. affinen Geometrie können sich Parallelen auch im "unendlich Fernen" schneiden. Also da müssen wir didaktisch etwas tricksen, oder den Wert $180^\circ$ aus dem Schieberegler nehmen (bei dir also $\alpha=90^\circ$ ).