Auftrag der Woche 4 (WS 16 17): Unterschied zwischen den Versionen

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Dass die Menge ebenfalls gleich der Mittelsenkrechten von <math>A</math> und <math>B</math> ist, lässt sich leicht einsehen, wenn man weiß, dass die Höhe über der Basis von gleichschenkligen Dreiecken immer auf der Mittelsenkrechten der Basis liegt.
 
Dass die Menge ebenfalls gleich der Mittelsenkrechten von <math>A</math> und <math>B</math> ist, lässt sich leicht einsehen, wenn man weiß, dass die Höhe über der Basis von gleichschenkligen Dreiecken immer auf der Mittelsenkrechten der Basis liegt.
  
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===Amerkung Tutor Alex===
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Sehr ausführlich und schön konstruiert ;)<br />
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Am Anfang hatte ich auch das Problem, dass wenn ich nur einen Punkt auf der Mittelsenkrechte "ins Unendliche" animieren lasse,
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ich auf einmal auf der gespiegelten Seite wieder ein Schnittpunkt erhalte. Das hängt aber an GeoGebra.<br />
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Nun haben wir 2 bzw. 3 schöne Konstruktionen, jetzt bleibt noch die Frage offen, was wäre aus didaktischer Sicht die sinnvollste und wieso?
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Was können die Schülerinnen und Schüler mit solch einer dynamischen Geometriesoftware eigenständig entdecken/erleben/erfahren und somit lernen?<br />
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Echt toll! <br />
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Gruß Alex--[[Benutzer:Tutor: Alex|Tutor: Alex]] ([[Benutzer Diskussion:Tutor: Alex|Diskussion]]) 19:14, 17. Nov. 2016 (CET)
  
 
[[Kategorie:Geo_P]]
 
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Version vom 17. November 2016, 19:14 Uhr

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Die Lösung ist korrekt, die Skizze aus didaktischer Sicht suboptimal. Generieren Sie mit Geogebra eine dynamische Applikation, die die korrekte Lösung besser als die obige Skizze unterstützt.



Seite neu laden, falls GeoGebra nicht lädt

Inhaltsverzeichnis

Lösung von AlanTu

Wenn man den Haken bei „Spur“ setzt, erscheint nach und nach die Mittelsenkrechte.


Konstruktionsbeschreibung

Gegeben seien zwei Punkte A und B. Gesucht ist M:=\{Q|\overline{AQ}\cong\overline{QB}\}.

Sei r\in\mathbb{R} fest aber beliebig.

  1. Zeichne einen Kreis c_r mit Radius r um A (die Menge der Punkte mit Abstand r von A).
  2. Zeichne einen Kreis d_r mit Radius r um B (die Menge der Punkte mit Abstand r von B).
  3. Bestimme M_r (die Menge der Punkte mit Abstand r sowohl von A als auch von B) folgendermaßen:
    1. Falls kein Schnittpunkt von c und d: Es sei M_r=\{\}.
    2. Falls ein Schnittpunkt von c und d: Nenne den Schnittpunkt Q, es sei M_r=\{Q\}.
    3. Falls zwei Schnittpunkte von c und d: Nenne die beiden Schnittpunkte Q_r^1 und Q_r^2, es sei M_r=\{Q_r^1,Q_r^2\}.

M ergibt sich nun aus der Vereinigung aller M_r für r\in\mathbb{R}, also: M = \bigcup\limits_{r\in\mathbb{R}}{M_r}

Begründung, warum die Menge genau die Mittelsenkrechte ist

Betrachtet man nun r=\frac{\overline{AB}}{2}: Q ist der Mittelpunkt von A und B, da er den selben Abstand von beiden Punkten hat.

Betrachtet man nun r\in\mathbb{R} \wedge r > \overline{QA}:

  • Das Viereck AQ_r^1BQ_r^2 bildet eine Raute mit Seitenlänge r.
  • Da die Diagonalen der Raute sich sowohl halbieren, als auch senkrecht aufeinander stehen, liegen Q_r^1 und Q_r^2 auf der Mittelsenkrechten von A und B.
  • Nach dem Satz des Pythagoras ergibt sich \overline{QQ_r^1} = \overline{QQ_r^2} = \sqrt{r^2 - \overline{QA}^2} und da f(r)=\sqrt{r^2 - \overline{QA}^2} für r > \overline{QA} genau einen Wertebereich von (0,\infty) besitzt, ergibt die Vereinigung aller M_r genau die Mittelsenkrechte von A und B ohne den Mittelpunkt von A und B.

Nimmt man also beide Fälle zusammen ergibt sich genau die komplette Mittelsenkrechte von A und B.


Lösung von Tutor Alex

Nachtrag: Falls die GeoGebra Datei hier nicht angezeigt wird, klicke hier.


2. Lösung von AlanTu

Konstruiere nach folgender Konstruktionsanleitung jeweils für jeden Winkel 0\leq\alpha<180^\circ jeweils einen Punkt Q:

  • Wähle zwei Punkte A' und B' beliebig, sodass gilt: \measuredangle{A'BA} = \measuredangle{BAB'} = \alpha.
  • Bestimme den Schnittpunkt Q der Geraden AB' und BA'.
  • Die Punkte A, B und Q bilden dann ein gleichschenkliges Dreieck mit Basis AB.

Die Menge aller so konstruierten Punkte Q ist genau M, da es genau dann ein solches gleichschenkliges Dreieck gibt, wenn Q den selben Abstand von A und B hat. Dass die Menge ebenfalls gleich der Mittelsenkrechten von A und B ist, lässt sich leicht einsehen, wenn man weiß, dass die Höhe über der Basis von gleichschenkligen Dreiecken immer auf der Mittelsenkrechten der Basis liegt.

Amerkung Tutor Alex

Sehr ausführlich und schön konstruiert ;)
Am Anfang hatte ich auch das Problem, dass wenn ich nur einen Punkt auf der Mittelsenkrechte "ins Unendliche" animieren lasse, ich auf einmal auf der gespiegelten Seite wieder ein Schnittpunkt erhalte. Das hängt aber an GeoGebra.
Nun haben wir 2 bzw. 3 schöne Konstruktionen, jetzt bleibt noch die Frage offen, was wäre aus didaktischer Sicht die sinnvollste und wieso? Was können die Schülerinnen und Schüler mit solch einer dynamischen Geometriesoftware eigenständig entdecken/erleben/erfahren und somit lernen?
Echt toll!
Gruß Alex--Tutor: Alex (Diskussion) 19:14, 17. Nov. 2016 (CET)

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