Isomorphie und Homomorphie von Gruppen SoSe 2017: Unterschied zwischen den Versionen
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Die Menge der ganzen Zahlen und die Menge der geraden ganzen Zahlen sind gleichmächtig zueinander: Die Abbildung <math>\varphi</math> mit <math>\varphi (z)= 2z, \forall z \in \mathbb{Z}</math> ordnet jeder ganzen Zahl genau eine gerade ganze Zahl zu. Umgekehrt bildet <math>\varphi^{-1}</math> mit <math>\varphi^{-1}(z)=\frac{z}{2}</math> jeder geraden ganzen Zahl ihr Urbild bei <math>\varphi</math> zu. <math>\varphi</math> ist eine 1-1-Abbildung von der Menge der ganzen Zahlen auf die Mange der geraden ganzen Zahlen. 1-1-Abbildungen von-auf werden auch Bijektionen genannt. | Die Menge der ganzen Zahlen und die Menge der geraden ganzen Zahlen sind gleichmächtig zueinander: Die Abbildung <math>\varphi</math> mit <math>\varphi (z)= 2z, \forall z \in \mathbb{Z}</math> ordnet jeder ganzen Zahl genau eine gerade ganze Zahl zu. Umgekehrt bildet <math>\varphi^{-1}</math> mit <math>\varphi^{-1}(z)=\frac{z}{2}</math> jeder geraden ganzen Zahl ihr Urbild bei <math>\varphi</math> zu. <math>\varphi</math> ist eine 1-1-Abbildung von der Menge der ganzen Zahlen auf die Mange der geraden ganzen Zahlen. 1-1-Abbildungen von-auf werden auch Bijektionen genannt. | ||
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+ | ==Beispiel 3== | ||
+ | Alle Gruppen der Ordnung 3 sind isomorph zueinander.<br /> | ||
+ | Beweis: Übungsaufgabe | ||
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+ | |- | ||
+ | | *|| e || a|| b | ||
+ | |- | ||
+ | | e|| e|| a|| b | ||
+ | |- | ||
+ | | a|| a|| b|| e | ||
+ | |- | ||
+ | | b|| b|| e || a | ||
+ | |} | ||
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+ | {| class="wikitable" | ||
+ | |- | ||
+ | | <math>\oplus</math>|| <math>\overline{0}</math> || <math>\overline{1}</math>|| <math>\overline{2}</math> | ||
+ | |- | ||
+ | | <math>\overline{0}</math>|| <math>\overline{0}</math>|| <math>\overline{1}</math>|| <math>\overline{2}</math> | ||
+ | |- | ||
+ | | <math>\overline{1}</math>|| <math>\overline{1}</math>|| <math>\overline{2}</math>|| <math>\overline{0}</math> | ||
+ | |- | ||
+ | | <math>\overline{2}</math>|| <math>\overline{2}</math>|| <math>\overline{0}</math> || <math>\overline{1}</math> | ||
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<!--- Was hier drunter steht muss stehen bleiben ---> | <!--- Was hier drunter steht muss stehen bleiben ---> | ||
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[[Kategorie:Algebra]] | [[Kategorie:Algebra]] |
Aktuelle Version vom 13. Juni 2017, 11:06 Uhr
Isomorphie von GruppenBeispieleDeckdrehungen des Quadrates undWir betrachten die folgenden beiden Gruppen:
Die beiden Gruppentafeln sehen wie folgt aus: Tafel 1
Tafel 2
Tafel 3
undDie Menge der ganzen Zahlen und die Menge der geraden ganzen Zahlen sind gleichmächtig zueinander: Die Abbildung mit ordnet jeder ganzen Zahl genau eine gerade ganze Zahl zu. Umgekehrt bildet mit jeder geraden ganzen Zahl ihr Urbild bei zu. ist eine 1-1-Abbildung von der Menge der ganzen Zahlen auf die Mange der geraden ganzen Zahlen. 1-1-Abbildungen von-auf werden auch Bijektionen genannt. Beispiel 3Alle Gruppen der Ordnung 3 sind isomorph zueinander.
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