Lösung von Aufgabe 12.4: Unterschied zwischen den Versionen

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| Es existiert ein Dreieck <math>\overline {PLL'}</math>
 
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| VSS, Punkte <math>\ L L' P </math> sind nicht kollinear
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| VSS, Punkte <math>\ L L' P </math> sind nicht kollinear, da <math>\ L \in g \and L' \in g \and P \notin g</math> laut Definition Lot und Lotfußpunkt.
 
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| <math>|\angle LL'P| = 90</math>
 
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| VSS, <math>\ L'</math> ist Lotfußpunkt
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Version vom 13. Juli 2010, 00:24 Uhr

Beweisen Sie die Existenz und die Eindeutigkeit des Lotes von einem Punkt \ P auf eine Gerade \ g.

Existenz

Eindeutigkeit


Voraussetzung: Gerade \ g, Punkt \ P \notin g, Lot \ lvon \ P auf \ g mit Lotfußpunkt \ L
Behauptung: Es existiert genau ein Lot von \ P auf \ g.
Indirekter Beweis - Annahme: Es existieren zwei "Lote" von \ P auf \ g.
Annahme: Es existiert ein zweiter Lotfußpunkt \ L'

Nr. Beweisschritt Begründung
(I) Es existiert ein Dreieck \overline {PLL'} VSS, Punkte \ L L' P sind nicht kollinear, da \ L \in g \and L' \in g \and P \notin g laut Definition Lot und Lotfußpunkt.
(II) |\angle LL'P| = 90 Annahme, \ L' ist Lotfußpunkt
(III) |\angle PLL'| = 90 VSS, \ L ist Lotfußpunkt
(IV) Außenwinkel von |\angle LL'P| = 90 Supplementaxiom
(V) |\angle PLL'| < Außenwinkel von |\angle LL'P|


|\angle PLL'| < 90

Schwacher Außenwinkelsatz
(VI) Annahme muss verworfen werden Widerspruch zwischen (V) und (III) !!!
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