Lösung von Aufgabe 12.4: Unterschied zwischen den Versionen
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− | | Der Abstand <math> | + | | Der Abstand <math>\ |PQ|</math> ist eindeutig (aber nicht eineindeutig) und meßbar |
| Axiom III.1: (Axiom vom Lineal) | | Axiom III.1: (Axiom vom Lineal) | ||
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#Es existiert nur der Punkt <math>\ Q \in g</math> mit dem Abstand <math>\ |PQ|</math> | #Es existiert nur der Punkt <math>\ Q \in g</math> mit dem Abstand <math>\ |PQ|</math> | ||
#Es existiert ein zweiter Punkt <math>\ Q' \in g</math> mit dem Abstand <math>\ |PQ|</math> | #Es existiert ein zweiter Punkt <math>\ Q' \in g</math> mit dem Abstand <math>\ |PQ|</math> | ||
− | | Den Fall: "Es existiert kein Punkt..." haben wir in (I) und (II) ausgeschlossen. Den Fall "Es existieren mehr als zwei Punkte..." können wir über den schwachen Außenwinkelsatz ausschließen, da es keine Dreiecke gibt, bei dem zwei Innenwinkel kongruent zu den Außenwinkel sind. Denn mit drei (verschiedenen) Punkten <math>\ Q, Q' und Q'' \in g</math> und den kongruenten Strecken <math>\overline {PQ}, \overline {PQ'} und \overline {PQ} </math> würden (o.B.d.A) zwei (gleichschenklige) Dreiecke <math>\overline {PQQ'} und \overline {PQ'Q''}</math> entstehen, deren Basis auf der selben Geraden <math>\ QQ''</math> liegt und bei denen der Außenwinkel des einen Innenwinkels <math>\ alpha</math> von <math>\overline {PQQ'}</math>gleichzeitig der "andere" Innenwinkel <math>\ beta'</math> von <math>\overline {PQ'Q''}</math> ist. Diese Winkel sind supplementäre Nebenwinkel und wären somit rechte Winkel. Nach der Dreieckskongruenz müsste nun auch der zweite Innenwinkel von <math>\overline {PQQ'} (\ beta | + | | Den Fall: "Es existiert kein Punkt..." haben wir in (I) und (II) ausgeschlossen. |
+ | <br />Den Fall "Es existieren mehr als zwei Punkte..." können wir über den schwachen Außenwinkelsatz ausschließen, da es keine Dreiecke gibt, bei dem zwei Innenwinkel kongruent zu den Außenwinkel sind. Denn mit drei (verschiedenen) Punkten <math>\ Q, Q' und Q'' \in g</math> und den kongruenten Strecken <math>\overline {PQ}, \overline {PQ'} und \overline {PQ} </math> würden (o.B.d.A) zwei (gleichschenklige) Dreiecke <math>\overline {PQQ'} und \overline {PQ'Q''}</math> entstehen, deren Basis auf der selben Geraden <math>\ QQ''</math> liegt und bei denen der Außenwinkel des einen Innenwinkels <math>\ \alpha</math> von <math>\overline {PQQ'}</math>gleichzeitig der "andere" Innenwinkel <math>\ \beta'</math> von <math>\overline {PQ'Q''}</math> ist. Diese Winkel sind supplementäre Nebenwinkel und wären somit rechte Winkel. Nach der Dreieckskongruenz müsste nun auch der zweite Innenwinkel von <math>\overline {PQQ'}</math> (<math>\ \beta</math>) ein rechter Winkel sein. Dies ist nicht möglich! (siehe [[Lösung_von_Aufgabe_12.2| Aufgabe 12.2]]) | ||
+ | <br />Es bleiben Fall 1 und 2! | ||
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− | | Fall 1: Wenn es | + | | weiter mit: Fall 1: Wenn es NUR EINEN Punkt <math>\ Q \in g</math> gibt, der den Abstand <math>\ |PQ|</math> zu <math>\ P</math> hat, dann existieren die Punkte <math>\ A \in g</math> und <math>\ B \in g</math>, die bezüglich der Geraden <math>\ PQ</math> in unterschiedlichen Halbebenen liegen. Es gilt <math>\ |AQ| = |QB|</math>. |
− | | Axiom | + | | Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunktes, Axiom vom Lineal (Streckenantragen) |
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− | | | + | | In allen möglichen Fällen lassen sich zwei beliebige Punkte <math>\ A \in g</math> und <math>\ B \in g</math> konstruieren, die zu <math>\ P \in g</math> den selben Abstand haben! |
− | | | + | | (I) - (IV) |
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Version vom 15. Juli 2010, 02:04 Uhr
Beweisen Sie die Existenz und die Eindeutigkeit des Lotes von einem Punkt auf eine Gerade
.
Existenz
Voraussetzung: Gerade , Punkt
Behauptung: Es existiert ein Lot von
auf
mit Lotfußpunkt
Analoge Behauptung (Definition von Lot) Es existiert eine Senkrechte auf , die durch
geht.
Hilfskonstruktion: Es existieren zwei VERSCHIEDENE Punkte und
mit dem selben Abstand zu
Kommentar --*m.g.* 10:18, 13. Jul. 2010 (UTC): Begründen müssten Sie die Korrektheit der Hilfskonstruktion schon. Woher wissen Sie, dass die beiden Punkte und
existieren?
Nr. | Beweisschritt | Begründung |
---|---|---|
(I) | ![]() |
Hilfskonstruktion, Axiom vom Lineal |
(II) | Es existiert ein Mittelpunkt ![]() ![]() |
Eindeutigkeit des Mittelpunktes |
(III) | ![]() |
Gleichschenkliges Dreieck |
(IV) | ![]() |
SWS - (I), (II), (III)
|
(V) | ![]() |
(IV), Dreieckskongruenz |
(VI) | ![]() |
(V), Definition rechte Winkel: kongruente Nebenwinkel |
Es existiert ein Strahl , der mit
oder
einen rechten Winkel bildet, anders ausgedrückt: Es existiert eine Senkrechte auf
(da
und
), die durch
geht.
zu Schritt (I): Es ist ein leichtes (sag ich mal so), zu beweisen, dass ein Punkt zu entweder keinem, zu einem oder zu zwei Punkten einer Gerade
einen bestimmten Abstand hat. Der Fall, dass wir eine Strecke von
auf dem Strahl
antragen und keinen Schnittpunkt mit
erhalten, kann man schnell ad acta legen, macht keinen Sinn! Wenn es nur einen Punkt gibt, dann sind wir fertig, das ist das Lot (das kann später bewiesen werden). Genau genommen ist der Schritt (1) also: Wir wählen einen beliebigen Punkt
und tragen (nach Axiom vom Lineal) die Strecke
auf einem beliebigen zweiten Strahl
von
aus an und finden so den Punkt
--Heinzvaneugen 00:27, 13. Jul. 2010 (UTC)
Nr. | Beweisschritt | Begründung |
---|---|---|
(I) | Es existiert eine Gerade ![]() ![]() ![]() |
AXIOM I/1(Axiom von der Geraden) |
(II) | Der Abstand ![]() |
Axiom III.1: (Axiom vom Lineal) |
(III) | Fallunterscheidung:
|
Den Fall: "Es existiert kein Punkt..." haben wir in (I) und (II) ausgeschlossen.
|
(IV) | weiter mit: Fall 1: Wenn es NUR EINEN Punkt ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunktes, Axiom vom Lineal (Streckenantragen) |
(V) | In allen möglichen Fällen lassen sich zwei beliebige Punkte ![]() ![]() ![]() |
(I) - (IV) |
Eindeutigkeit
Voraussetzung: Gerade , Punkt
, Lot
von
auf
mit Lotfußpunkt
Behauptung: Es existiert genau ein Lot von auf
.
Indirekter Beweis - Annahme: Es existieren zwei "Lote" von auf
.
Annahme: Es existiert ein zweiter Lotfußpunkt
Nr. | Beweisschritt | Begründung |
---|---|---|
(I) | Es existiert ein Dreieck ![]() |
VSS, Punkte ![]() ![]() |
(II) | ![]() |
Annahme, ![]() |
(III) | ![]() |
VSS, ![]() |
(IV) | Außenwinkel von ![]() |
Supplementaxiom |
(V) | ![]() ![]()
|
Schwacher Außenwinkelsatz |
(VI) | Annahme muss verworfen werden | Widerspruch zwischen (V) und (III) !!! |
--Heinzvaneugen 00:27, 13. Jul. 2010 (UTC)