Version vom 25. November 2017, 13:16 Uhr

Inhaltsverzeichnis

1 Eindeutigkeit des Einslementes
- 1.1 Satz 3
- 1.2 Beweis von Satz 3
2 Eindeutigkeit der inversen Elemente
- 2.1 Satz 4
- 2.2 Beweis von Satz 4

Eindeutigkeit des Einslementes

Satz 3

Jede Gruppe hat genau ein Einslement.

Beweis von Satz 3

Es sei $[G, \odot]$ eine Gruppe. Nach der Definition des Begriffs Gruppe hat $[G, \odot]$ eine Einslement $e_1$ . Es bleibt zu zeigen, dass $[G, \odot]$ kein weiteres Einslement $e_2$ hat. Wir nehmen an es gibt $e_2$ mit $e_2 \neq e_1$ . Nach Satz 2 sind $e_1$ und $e_2$ von links und von rechts Einselemente. Wir gehen aus von der Gleichung $e_1 \odot e_2=e_1 \odot e_2$ . Aus dieser Gleichung folgt wegen der Einslement eigenschaft beider Elemente $e_1$ und $e_2$ (und das sowohl von rechts, wie auch von links) $e_1=e_2$ .

Eindeutigkeit der inversen Elemente

Satz 4

In jeder Gruppe $[G, \odot]$ gilt: Jedes Gruppenelement $g \in G$ hat genau ein inverses Element.

Beweis von Satz 4

Es sei $g \in G$ eine Gruppe mit dem Einslement $e$ . Nach der Definition des Begriffs Gruppe hat $g$ in $G$ ein Inverses $g_1^{-1}$ bezüglich $\odot$ . Wir nehmen an, $g$ hat in $G$ ein weiteres Inverses $g_2^{-1}$ , das natürlich von $g_1^{-1}$ verschieden ist. Nach Satz 1 wissen wir, dass $g_1^{-1}$ und $g_2^{-1}$ von links und von rechts invers zu $g$ bzgl. $\odot$ sind.

Die triviale Gleichung $(I) e=e$ "pumpen" wir zu $(II) g \odot g_1^{-1} = g \odot g_2{-1}$ auf.

$(II)$ multiplizieren wir auf beiden Seiten von links mit $g_1^{-1}$ und erhalten $(III) g_1^{-1} \odot g \odot g_1^{-1}= g_1^{-1} \odot g \odot g_2{-1}$ .

$(III)$ verkürzt sich zu $g_1^{-1}=g_2^{-1}$ , was ein Widerspruch zu unserer Annahme $g_1^{-1} \neq g_2^{-1}$ ist.

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 In jeder Gruppe <math>[G, \odot]</math> gilt: Jedes Gruppenelement <math>g \in G</math> hat genau ein inverses Element.
 ==Beweis von Satz 4==
-Es sei <math>g \in G</math> eine Gruppe mit dem Einslement <math>e</math>. Nach der Definition des Begriffs Gruppe hat <math>g</math> in <math>G</math> ein Inverses <math>g_1^{-1}</math> bezüglich <math>\odot</math>. Wir nehmen an, <math>g</math> hat in <math>G</math> ein weiteres Inverses <math>g_2^{-1}</math>, das natürlich von <math>g_1^{-1}</math> verschieden ist. Nach Satz 1 wissen wir, dass <math>g_1{-1}</math> und <math>g_2^{-1}</math> von links und von rechts invers zu <math>g</math> bzgl. <math>\odot</math> sind. Die triviale Gleichung <math>(I) e=e</math> "pumpen" wir zu <math>(II) g \odot g_1^{-1} = g \odot g_2{-1}</math> auf. (II) multiplizieren wir auf beiden Seiten von links mit <math>g_1^{-1}</math> und erhalten <math>g_1^{-1} \odot g \odot g_1^{-1}= g_1^{-1} \odot g \odot g_2{-1}</math>. (III) verkürzt sich zu <math>g_1^{-1}=g_2{-1}</math>, was ein Widerspruch zu unserer Annahme <math>g_1^{-1} \neq g_2^{-1}</math> ist.
+Es sei <math>g \in G</math> eine Gruppe mit dem Einslement <math>e</math>. Nach der Definition des Begriffs Gruppe hat <math>g</math> in <math>G</math> ein Inverses <math>g_1^{-1}</math> bezüglich <math>\odot</math>. Wir nehmen an, <math>g</math> hat in <math>G</math> ein weiteres Inverses <math>g_2^{-1}</math>, das natürlich von <math>g_1^{-1}</math> verschieden ist. Nach Satz 1 wissen wir, dass <math>g_1^{-1}</math> und <math>g_2^{-1}</math> von links und von rechts invers zu <math>g</math> bzgl. <math>\odot</math> sind. <br />
+Die triviale Gleichung <math>(I) e=e</math> "pumpen" wir zu <math>(II) g \odot g_1^{-1} = g \odot g_2{-1}</math> auf. <br />
+<math>(II)</math> multiplizieren wir auf beiden Seiten von links mit <math>g_1^{-1}</math> und erhalten <math>(III) g_1^{-1} \odot g \odot g_1^{-1}= g_1^{-1} \odot g \odot g_2{-1}</math>.<br />
+<math>(III)</math> verkürzt sich zu <math>g_1^{-1}=g_2^{-1}</math>, was ein Widerspruch zu unserer Annahme <math>g_1^{-1} \neq g_2^{-1}</math> ist.
 <!--- Was hier drunter steht muss stehen bleiben --->
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 [[Kategorie:Algebra]]

Gruppendefinition (Gleichung): Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 25. November 2017, 13:16 Uhr

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Eindeutigkeit des Einslementes

Satz 3

Beweis von Satz 3

Eindeutigkeit der inversen Elemente

Satz 4

Beweis von Satz 4

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