Lösung von Aufgabe 8.1: Unterschied zwischen den Versionen

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1) <math>\forall P\in {gQ}^{-} \Rightarrow P\in {gR}^{+}</math> <br\>
 
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2) <math>\forall P\in {gQ}^{+} \Rightarrow P\in {gR}^{-}</math> <br\>
 
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Version vom 14. Juli 2010, 14:10 Uhr

Es sei \ \Epsilon eine Ebene, die durch die Gerade \ g in die beiden Halbebenen gQ^+ und gQ^- eingeteilt wird. Ferner sei \ R ein Punkt der Halbebene \ gQ^-, der nicht auf der Trägergeraden \ g liegen möge. Beweisen Sie: \ gR^+ \equiv gQ^- und \ gR^- \equiv gQ^+

Lösung

Voraussetzung: \ {gQ}^{+} und \ {gQ}^{-} R \in {gQ}^{-} mit R \not \in g
Behauptung: {gR}^{+} \equiv {gQ}^{-} und {gR}^{-} \equiv {gQ}^{+}, d. h.
1) \forall P\in {gQ}^{-} \Rightarrow P\in {gR}^{+}
2) \forall P\in {gQ}^{+} \Rightarrow P\in {gR}^{-}

zu 1)

Beweis
Nr. Beweisschritt Begründung
(I) \forall P\in {gQ}^{-} \Rightarrow \overline {PQ} \cap g \neq \lbrace \rbrace nach Definition Halbebene
(II) \overline {RQ} \cap g \neq \lbrace \rbrace nach Voraussetzung und Definition Halbebene
(III) \overline {RP} \cap g = \lbrace \rbrace Axiom v. Pasch
(IV) \ P\in {gR}^{+} (III) und Definition Halbebene

zu 2) analog zu 1)

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