Übungsaufgaben Algebra SoSe 2018: Unterschied zwischen den Versionen

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*[[Übungsaufgaben zur Algebra, Serie 1 SoSe 2018]]
 
=Aufgabe 1.1=
 
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Unter der symmetrischen Gruppe <math>S_n</math> versteht man die Gruppe der Permutationen von <math>n</math> Elementen bezüglich der NAF von Permutationen.
 
Unter der symmetrischen Gruppe <math>S_n</math> versteht man die Gruppe der Permutationen von <math>n</math> Elementen bezüglich der NAF von Permutationen.

Version vom 1. Mai 2018, 14:09 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Aufgabe 1.1

Unter der symmetrischen Gruppe S_n versteht man die Gruppe der Permutationen von n Elementen bezüglich der NAF von Permutationen. Generieren Sie die Verknüpfungstabelle der S_4.

Aufgabe 1.2

Die symmetrische Gruppe S_3 besteht aus 6 Permutationen. Interpretieren Sie die S_3 als Deckabbildungsgruppe eines regelmäßigen n-Ecks.

Aufgabe 1.3

Unter \mathbb{Z}/_5 verstehen wir alle Restklassen modulo 5, d.h. in der Klasse \overline{a} liegen alle ganzen Zahlen die denselben Rest bei Division durch 5 wie die ganze Zahl a lassen. Die Addition \opluszweier Restklassen \overline{a} und \overline{b} ist wie folgt definiert: \overline{a} \oplus \overline{b} := \overline{a + b}. Beweisen Sie:
Die Restklassenaddition der Restklassen modulo 5 ist repräsentantenunabhängig, d.h. es gilt:
\overline{a_1}=\overline{a_2} \land \overline{b_1} = \overline{b_2} \Rightarrow \overline{a_1} \oplus \overline{b_1} = \overline{a_2} \oplus \overline{b_2}

Aufgabe 1.4

Beweisen Sie, dass [\mathbb{Z}/_5,\oplus] eine Gruppe ist.

Aufgabe 1.5

Es sei \mathbb{Z}_5\setminus\overline{0} die Menge der Restklassen modulo 5 ohne die Klasse \overline{0}. Beweisen Sie, dass diese Menge von Restklassen bzgl. der Retsklassenmultiplikation eine Gruppe bildet.

Aufgabe 1.6

Es sei [\mathbb{N},\cdot] die Menge der natürlichen Zahlen (ohne Null) zusammen mit der üblichen Multiplikation. Welche Gruppenaxiome sind in [\mathbb{N},\cdot] erfüllt und welche nicht?

Aufgabe 1.7

Es sei M_{2 \times 2} die Menge aller 2 \times 2 Matrizen ohne die Matrix, die nur aus Nullen besteht. Untersuchen Sie, ob M_{2 \times 2} bzgl. der üblichen Matrizenmultiplikation eine Gruppe bildet.

Aufgabe 1.8

Geben Sie eine vierelementige Teilmenge aus M_{2 \times 2} an, die bzgl. der Matrizenmultiplikation eine Gruppe ist.

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