Lösung von Aufgabe 12.6: Unterschied zwischen den Versionen
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! style="background: #FFDDDD;"|(III) | ! style="background: #FFDDDD;"|(III) | ||
| − | | das Maß von <math> | \angle PQR| = \alpha </math> im Punkt <math>\ P </math> an Gerade <math>\ PQ </math> in der Halbebene <math>\ {PQ,R^{+}}</math> abtragen. Es exisitert genau ein <math>\ {PS^{+}}</math> mit dem Maß <math>\ |\alpha{'}| = | \alpha| </math> | + | | das Maß von <math> | \angle PQR| = \alpha </math> im Punkt <math>\ P </math> an Gerade <math>\ PQ </math>, am Strahl <math>\ {PS^{-}}</math> in der Halbebene <math>\ {PQ,R^{+}}</math> abtragen. Es exisitert genau ein <math>\ {PS^{+}}</math> mit dem Maß <math>\ |\alpha{'}| = | \alpha| </math> |
| (Winkelkonstruktionsaxiom), (Winkelmaßaxiom), (I), (II) | | (Winkelkonstruktionsaxiom), (Winkelmaßaxiom), (I), (II) | ||
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Version vom 17. Juli 2010, 12:50 Uhr
Beweisen Sie: Wenn 
ein Punkt außerhalb der Geraden 
ist, dann gibt es eine Gerade 
, die durch geht und parellel zu ist.
Versuch 1
VSS: Punkt , Gerade , 
Beh: Gerade , 
, 
| Nr. | Beweisschritt | Begründung |
|---|---|---|
| (I) |  , 
|
(Axiom I.0) |
| (II) | Gerade 
|
(Axiom I.1) |
| (III) | das Maß von  im Punkt an Gerade , am Strahl  in der Halbebene  abtragen. Es exisitert genau ein  mit dem Maß 
|
(Winkelkonstruktionsaxiom), (Winkelmaßaxiom), (I), (II) |
| (IV) |  sind Stufenwinkel
|
(III), (Def. Stufenwinkel) |
| (V) |  =
|
(Axiom I.1) |
| (V) | 
|
(Umkehrung Stufenwinkelsatz), (IV), (V) |
--> Beh ist wahr.
--Löwenzahn 11:07, 14. Jul. 2010 (UTC)
Versuch 2
Mal wieder formlos: folgender Vorschlag:
Zu beweisen sind Existenz und Eindeutigkeit.
Die Gerade h, die durch den Punkt P geht kann sich zu g auf drei Arten verhalten:
- Fall: ist identisch => Widerspruch zur Voraussetzung
- Fall: schneidet h
- Fall: ist parallel zu h, also schnittpunktfrei
Fall 2 und 3 sind laut Vor. möglich, also existiert auf jeden Fall eine parallele Gerade.
Die Eindeutigkeit beweise ich indirekt.
Annahme: Es gibt genau zwei Parallelen durch P, die zu g parallel stehen, nämlich h und i, die nicht identisch sind.
(1) P ist sowohl Element von h, als auch von i. Die Geraden h und i sind damit identisch (Widerspruch Annahme) oder P ist ihr Schnittpunkt. Damit sind i und h aber nicht zueinander parallel (da nicht schnittpunktfrei). Parallelität ist transitiv. Wenn h und i nicht parallel sind, dann gilt entweder h parallel zu g oder i parallel zu g. Damit gibt es wieder nur eine Gerade durch P, die zu g parallel ist und nicht zwei.
--Nicola 15:49, 14. Jul. 2010 (UTC)
