Version vom 21. Mai 2018, 10:46 Uhr

Inhaltsverzeichnis

1 Strecken, intuitiv
2 Längenmessung
- 2.1 Messen: Andere Länder andere Sitten
- 2.2 Die Idee der Längenmessung
3 Der Abstand zweier Punkte
4 Der Begriff der Strecke
- 4.1 Definition II.3: (Strecke, Endpunkte einer Strecke)
- 4.2 Definition II.4: (Länge einer Strecke)
5 Halbgeraden bzw. Strahlen

Strecken, intuitiv

Punkte, Geraden und Ebenen können wir in unserer Geometrie nicht definieren. Für Strecken wird uns das gelingen.

Eine intuitive Vorstellung von Strecken haben wir schon: Eine Strecke ist die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten. Diese Vorstellung gilt es nun zu präzisieren.

Grundlegend dafür, um was für eine konkrete Strecke es sich jeweils handelt scheint die Angabe zweier Punkte zu sein (kürzeste Verbindung zweier Punkte).

Das Attribut kürzeste deutet auf das Messen von Längen hin. Das Messen von Längen wird dann auch der Knackpunkt bezüglich einer Definition des Begriffs der Strecke sein.

Längenmessung

Messen: Andere Länder andere Sitten

Rory, ein irischer Schüler, wechselt für ein Jahr an die IGH im Hasenleiser. Die Beibehaltung gewisser Gewohnheiten aus Irland könnte für Rory in Deutschland Probleme mit sich bringen: In Irland schmeckt das Guinness besser und vor allem wird es in der Maßeinheit Pint ausgeschenkt. Ein Pint ist etwas mehr als ein halber Liter: 0,56826125 l.

Rory ist ein sehr ordentlicher Schüler und hat sein Schullineal aus Irland mitgebracht. Zum Messen würde dieses in Deutschland allerdings nur dann etwas nützen, wenn es über eine zweite Skale in cm verfügen würde.

Die Idee der Längenmessung

Strecken werden bereits in Klasse 1 gemessen. Was ist das eigentlich, das Messen von Strecken. Wie würden Sie es den Schülern der Klassenstufen für die Sie ausgebildet werden erklären? Ergänzen Sie hier: ...

Der Abstand zweier Punkte

Die ersten beiden Abstandsaxiome

Axiom II.1: (Abstandsaxiom)

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Zu je zwei Punkten $A$ und $B$ gibt es eine eindeutig bestimmte nicht negative reelle Zahl $d$ mit $d=0:\Leftrightarrow A=B$ .

Definition II.1: (Abstand)

Der Abstand zweier Punkte $A$ und $B$ ist die Zahl, die nach dem Abstandsaxiom den Punkten $A$ und $B$ zugeordnet werden kann.
Schreibweise: $d=|AB|$ .

Axiom II.2:

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Für zwei beliebige Punkte $A$ und $B$ gilt $|AB| = |BA|$ .

Die Dreiecksungleichung

Schüler entdecken die Dreiecksungleichung

Dreieckskonstruktionen sind seit jeher fester Bestandteil des Geometrieunterrichts in der Schule. Neben solchen allgemeinen Zielen wie Erziehung zur Exaktheit und Sauberkeit bei Konstruktionen, geht es bei diesen Aufgaben auch darum, dass die Schüler die Gesetzmäßigkeiten ihrer Umwelt durch eigene Tätigkeit selbst erfahren.

Die einfachsten Dreieckskonstruktionen sind die, bei denen die Längen der drei Seiten eines Dreiecks gegeben sind. In der Sprache der Abstände: Alle drei Abstände die die Eckpunkte des Dreiecks zueinander haben sind gegeben.

Abstände sind nach dem Abstandsaxiom reelle Zahlen. (Maßeinheiten wie m und cm sind in der „reinen“ Mathematik irrelevant.)

Der Lehrer, der Konstruktionsaufgaben auf das eigentliche Generieren einer Zeichnung durch die Schüler reduziert, verschenkt eine Reihe von Potenzen hinsichtlich verschiedenster Ziele des Mathematikunterrichts. Stellvertretend sei in diesem Zusammenhang das Begründen genannt.

Aus didaktischer Sicht werden Konstruktionsaufgaben zu einem bestimmten Problemkreis erst dann vollständig, wenn die Schüler sich sowohl mit Aufgaben mit mehreren Lösungsmöglichkeiten als auch mit unlösbaren Aufgaben auseinandersetzen müssen.

Experimentieren Sie mit dem folgenden Geogebraapplet und klassifizireren Sie die Typen von Konstruktionsaufgaben, die sich für Dreieckskonstruktionen nach SSS ergeben:

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Das Axiom der Dreiecksungleichung

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Axiom II.3: (Dreiecksungleichung)

Für drei beliebige Punkte $A, B$ und $C$ gilt: $|AB |+ | BC | \geq | AC |.$

Falls $\operatorname{koll}(ABC)$ , dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt:

$| AB | + | BC | = | AC |$

$| AC | + | CB | = | AB |$

$| BA | + | AC | = | BC |$

Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind $A$ , $B$ und $C$ kollinear.

Definitionen und Sätze

Definition II.2: (Zwischenrelation)

Ein Punkt $B$ liegt zwischen zwei Punkten $A$ und $C$ , wenn $| AB | + | BC | = | AC |$ gilt und der Punkt $B$ sowohl von $A$ als auch von $C$ verschieden ist.

Schreibweise: $\operatorname{Zw} ( A, B, C )$

Unmittelbar einsichtig sind die folgenden beiden Sätze:

Satz II.1

Aus $\operatorname{Zw} ( A, B, C )$ folgt $\operatorname{Zw} ( C, B, A )$ .

Beweis von Satz II.1

Beweis: trivial (Der Leser überzeuge sich davon.)

Beweis auch mit Axiom II. 2, da

zu zeigen: ZW(A,B,C) = ZW(C,B,A)

(1)ZW(A,B,C): |AB| + |BC| = |AC| und

(2) ZW(C,B,A): |CB| + |BA| = |CA|

(1)(2) (Axiom II.2: |AB| = |BA|) |CA| = |AC| und somit auch ZW(A,B,C) = ZW(C,B,A)

Satz II.2:

Aus $\operatorname{Zw} ( A, B, C )$ folgt $\operatorname{koll} ( A, B, C )$ .

Beweis von Satz II.2

Beweis: trivial (Der Leser überzeuge sich davon.)

Satz II.3

Es sei $\operatorname{koll} ( A, B, C )$ mit $A, B, C$ sind paarweise verschieden.
Dann gilt liegt genau einer der drei Punkte $A, B, C$ zwischen den beiden anderen.

Beweis von Satz II.3:

Wir haben den Beweis in der Übung am 18. Mai geführt. Üben Sie das Aufschreiben derartiger Beweise noch einmal hier. Schreiben Sie hier Ihre Beweise rein. Sie können nichts kaputt machen.

Beweis von

Existenz:

Voraussetzung 1: A ≠ B ≠ C ≠ A (Info: \not\equiv funktioniert nicht, es soll also heißen A nicht äquivalent B usw.)

Zu zeigen: Es existiert wenigstens ein Punkt, der zwischen den anderen beiden liegt.

Beweis: wegen koll(A,B,C) greift Axiom II. 3, Teil 2. Es gilt also wenigstens eine der Gleichungen:

|AB| + |BC| = |AC| (also ZW(A,B,C)) oder

|AC| + |CB| = |AB| (also ZW(A,C,B)) oder

|BA| + |AC| = |BC| (also ZW(B,A,C))

Eindeutigkeit:

Voraussetzung 2: koll (A,B,C)

Zu zeigen: Nicht zwei der Punkte können gleichzeitig zwischen den anderen beiden liegen. "Es kann nur einen geben!"

Annahme: Zw(B,A,C) und Zw(A,C,B) gelten gleichzeitig

(1) Zw(B,A,C): |BA| + |AC| = |BC|

(2) Zw(A,C,B): |AC| + |CB| = |AB|

(3) |BC| = |AB| - |AC|

(1)(2) |BA| + |AC| = |AB| - |AC|

2 · |AC| = 0

|AC| = 0

(nach II. 1) A = C

† Widerspruch zu Voraussetzung 1

(weitere Info: \cdot , \newline , \quad und \neq funktionieren auch nicht, gibt es da andere Alternativ-Codes?)

Der Begriff der Strecke

Definition II.3: (Strecke, Endpunkte einer Strecke)

Es seien $A$ und $B$ zwei verschiedene Punkte. $A$ und $B$ heißen die Endpunkte der Strecke $\overline{AB}$ .

Unter der Strecke $\overline{AB}$ versteht man folgende Punktmenge:

$\overline{AB}$ := {P|Zw (A,P,B)} U {A,B}

Definition II.4: (Länge einer Strecke)

Es seien $A$ und $B$ zwei verschiedene Punkte. A und B heißen die Endpunkten der Strecke $\overline{AB}$ . Unter der Länge der Strecke $\overline{AB}$ versteht man den Abstand ihrer Endpunkte.

:= |AB|

Halbgeraden bzw. Strahlen

Definition II.5: (Halbgerade, bzw. Strahl)

Definition: Halbgerade $AB^{+}$ (ergänzen Sie)

Eine Halbgerade $AB^{+}$ ist die Menge der Punkte der Strecke $\overline{AB}$ vereinigt mit der Menge aller Punkte $P$ für die gilt :...

Definition: Halbgerade $AB^{-}$ (ergänzen Sie)

Eine Halbgerade $AB^{-}$ ist ...

Satz II.4

Es sei $O$ ein Punkt der Geraden $g$ .
Die Teilmengen $\ OA^+ \setminus \left\{ O \right\}$ , $\left\{ O \right\}$ und $\ OA^- \setminus \left\{ O \right\}$ bilden eine Klasseneinteilung der Geraden $g$ .

Beweis von Satz II.4

Sie müssen Folgendes zeigen:

$\ OA^+ \setminus \left\{ O \right\} \cap \ OA^- \setminus \left\{ O \right\} = \emptyset$
$\ OA^+ \setminus \left\{ O \right\} \cup \left\{ O \right\} \cup \ OA^- \setminus \left\{ O \right\}=g$

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 ===== Beweis von Satz II.3: =====
-Wir haben den Beweis in der Übung am 26. Mai geführt. Üben Sie das Aufschreiben derartiger Beweise noch einmal hier. Schreiben Sie hier ihre Beweise rein. Sie können nichts kaputt machen.
+Wir haben den Beweis in der Übung am 18. Mai geführt. Üben Sie das Aufschreiben derartiger Beweise noch einmal hier. Schreiben Sie hier Ihre Beweise rein. Sie können nichts kaputt machen.
 =====Beweis von =====
 '''Existenz:'''<br />

Strecken und Halbgeraden SoSe 2018: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 21. Mai 2018, 10:46 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Strecken, intuitiv

Längenmessung

Messen: Andere Länder andere Sitten

Die Idee der Längenmessung

Der Abstand zweier Punkte

Die ersten beiden Abstandsaxiome

Axiom II.1: (Abstandsaxiom)

Definition II.1: (Abstand)

Axiom II.2:

Die Dreiecksungleichung

Schüler entdecken die Dreiecksungleichung

Das Axiom der Dreiecksungleichung

Axiom II.3: (Dreiecksungleichung)

Definitionen und Sätze

Definition II.2: (Zwischenrelation)

Satz II.1

Beweis von Satz II.1

Satz II.2:

Beweis von Satz II.2

Satz II.3

Beweis von Satz II.3:

Beweis von

Der Begriff der Strecke

Definition II.3: (Strecke, Endpunkte einer Strecke)

Definition II.4: (Länge einer Strecke)

Halbgeraden bzw. Strahlen

Definition II.5: (Halbgerade, bzw. Strahl)

Satz II.4

Beweis von Satz II.4

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