Untergruppen, Untergruppenkriterien: Unterschied zwischen den Versionen

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<math>Z</math> ist der einzige Fixpunkt von <math>D_3</math>. In diesem Fall ist <math>D_3</math> eine Drehung mit dem Fixpunkt <math>Z</math>.
 
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\text{(I)} & Z &\overset{D_3}{\rightarrow} &Z \\
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Version vom 3. Juni 2018, 12:34 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Beispiele, Gegenbeispiele

Beispiel 1

Wir gehen von der additiven Gruppe der Restklassen modulo 6 aus [\mathbb{Z}_6, \oplus].
Die Gruppe besteht aus den folgenden Restklassen: \mathbb{Z}_6=\{ \overline{0}, \overline{1}, \overline{2}, \overline{3}, \overline{4}, \overline{5} \}
Die Gruppentafel sieht wie folgt aus:

\oplus \overline{0} \overline{1} \overline{2} \overline{3} \overline{4} \overline{5}
\overline{0} \overline{0} \overline{1} \overline{2} \overline{3} \overline{4} \overline{5}
\overline{1} \overline{1} \overline{2} \overline{3} \overline{4} \overline{5} \overline{0}
\overline{2} \overline{2} \overline{3} \overline{4} \overline{5} \overline{0} \overline{1}
\overline{3} \overline{3} \overline{4} \overline{5} \overline{0} \overline{1} \overline{2}
\overline{4} \overline{4} \overline{5} \overline{0} \overline{1} \overline{2} \overline{3}
\overline{5} \overline{5} \overline{0} \overline{1} \overline{2} \overline{3} \overline{4}

Wir wählen aus \mathbb{Z}_6 die folgende Teilmenge 2\mathbb{Z}_6aus:

2\mathbb{Z}_6:=\{\overline{0}, \overline{2}, \overline{4}\}

[2\mathbb{Z}_6, \oplus] ist eine Gruppe und damit eine Untergruppe von [\mathbb{Z}_6, \oplus]

\oplus \overline{0} \overline{2} \overline{4}
\overline{0} \overline{0} \overline{2} \overline{4}
\overline{2} \overline{2} \overline{4} \overline{0}
\overline{4} \overline{4} \overline{0} \overline{2}

Beispiel 2

Die Gruppe der Bewegungen

Die Gruppenmitglieder

Unter einer Bewegung \beta versteht man eine abstandserhaltende Abbildung der Ebene auf sich:
Es sei \varepsilon unsere Ebene.

\beta ist Relation
\forall P \in \varepsilon \exist P' \in \varepsilon: P'=\beta(P)
\beta ist eindeutig und damit Abbildung
\forall P \in \varepsilon: P'=\beta(P) \land P^*=\beta(P) \Rightarrow P'=P^*
\beta ist abstandserhaltend
\forall P, Q \in \varepsilon: \vert PQ \vert = \vert \beta(P) \beta(Q)\vert

Die Menge aller Bewegungen wollen wir mit \Beta bezeichnen.

Die Verknüpfung

wir wählen als Verknüpfung auf \Beta die NAF von Abbildungen und kennzeichnen diese mit \circ.

[\Beta, \circ] ist Gruppe

Abgeschlossenheit

Es seien \alpha und \beta zwei Bewegungen.
Wir haben zu zeigen, dass \alpha \circ \beta eine Bewegung ist.
Da die NAF zweier Abbildungen der Ebene auf sich ist tivialerweise wieder eine Abbildung der Ebene auf sich. Wir müssen nur zeigen dass \alpha \circ \beta abstandserhaltend ist:
\begin{matrix} (1) & \vert PQ \vert = \vert \alpha(P) \alpha(Q) \vert & \alpha \text{ ist Bewegung und damit abstandserhaltend} \\ (2) & \vert \alpha(P) \alpha(Q) \vert = \vert \beta(\alpha(P)) \beta(\alpha(Q)) \vert & \beta \text{ ist Bewegung und damit abstandserhaltend} \\ (3) & \vert PQ \vert= \vert \beta(\alpha(P)) \beta(\alpha(Q)) \vert & (1), (2) \end{matrix}

Assoziativität

Die NAF von Abbildungen ist immer assoziativ.

Einselement

Wir betrachten die Abbildung \operatorname{id}, die jeden Punkt die Abbildung der ebene auf sich selbst abbildet:
\forall P \in \varepsilon: \operatorname{id}(P)=P
Damit ist \operatorname{id} eine Abbildung der Ebene auf sich. Wegen \operatorname{id}(A)=A \land \operatorname{id}(B)= B, \forall A,B \in \varepsilon gilt natürlich auch \vert AB\vert = \vert \operatorname{id}(A) \operatorname{id}(B)\vert.
\operatorname{id} erfüllt die Eigenschaften eines Einselementes:
\forall P \in \varepsilon : \beta \circ \operatorname{id}(P)= \operatorname{id}(\beta(P))=\beta(P) und somit \operatorname{id} \circ \beta = \beta.

inverse Elemente

Es genügt zu zeigen, dass jede Bewegung \beta eineindeutig ist, d.h. dass jeder Punkt \R \in \varepsilon bei \beta ein und nur ein Urbild Q \in \varepsilon hat.

Injektivität von \beta

Sei P' das Bild von P bei der Bewegung \beta. Wir haben zu zeigen, dass es keinen Punkt Q \in \varepsilon, Q \not \equiv P gibt, der durch \beta auch auf P' abgebildet wird. Wir nahemen, an, dass es einen solchen Punkt Q gibt. Dann gilt:
0=\vert P'P' \vert = \vert PQ \vert und damit P \equiv Q, was ein Widerspruch zur Annahme P \not \equiv Q ist.

Surjektivität von \beta

Wir haben zu zeigen, dass jeder Punkt Q \in \varepsilon bei der Bewegung \beta ein Urbild hat.
Annahme: Q hat kein Urbild bei \beta. Da jeder Punkt der Ebene \varepsilon durch \beta auf genau einen Punkt der Ebene \varepsilon abgebildet wird und der Punkt Q kein Urbild hat, müssen wenigstens zwei verschiedene Punkte A und B aus \varepsilon durch \beta auf ein und denselben Punkt C abgebildet werden:

  1. A \overset{\beta}{\rightarrow} C
  2. B \overset{\beta}{\rightarrow} C

Wegen \vert CC \vert = 0 = \vert \beta(A) \beta(B) \vert müssen A und B ein und derselbe Punkt, also identisch sein. Das ist ein Widerspruch zu A\not\equiv B. Unsere Annahme Q hat kein Urbild ist also zu verwerfen.

Die Untergruppe der Drehungen um ein und denselben Punkt

Drehungen

Eine Bewegung die entweder die Identität ist oder genau einen Fixpunkt Z besitzt, heißt Drehung. Falls die Bewegung genau den Fixpunkt Z hat, sprechen wir von einer Drehung um Z.

Die Gruppe der Drehungen um ein und denselben Fixpunkt

Es sei Z ein beliebiger aber fester Punkt der Ebene. Wir betrachten \mathbb{D}_Z die Menge aller Drehungen um Z. Als Verknüpfung auf \mathbb{D}_Z wählen wir die \circ, die NAF von Abbildungen. [\mathbb{D}_Z, \circ ] ist eine Gruppe:

Abgeschlossenheit

Es seien D_1 und D_2 zwei Drehungen um Z. Wir haben bererits geszeigt, dass die NAF zweier Bewegungen eine Bewegung ist. Da D_1 und D_2 zwei Bewegungen sind, ist D_3:= D_1 \circ D_2 ebenfalls eine Bewegung. Weil Z ein Fixpunkt sowohl von D_1 als auch von D_2 ist, muss Z auch ein Fixpunkt von D_3 sein. Es können jetzt genau zwei Fälle auftreten:

Fall 1

Z ist der einzige Fixpunkt von D_3. In diesem Fall ist D_3 eine Drehung mit dem Fixpunkt Z.

Fall 2

D_3 hat neben Z einen weiteren Fixpunkt F.
Das bedeutet:
\begin{matrix} \text{(I)} & Z &\overset{D_3}{\rightarrow} &Z \\ \text{(II)} & &F \overset{D_3}{\rightarrow} &F \end{matrix}

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