Lösung von Aufgabe 13.5: Unterschied zwischen den Versionen
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| (X) | | (X) | ||
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− | --> Beh. wahr qed<br /> | + | --> Beh. wahr qed<br /> |
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! style="background: #FFDDDD;"|(III) | ! style="background: #FFDDDD;"|(III) | ||
− | | | + | | <math>|\angle SBP| = |\angle SAP| = 90 </math> |
− | | | + | | (II), (Def. Lot) |
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! style="background: #FFDDDD;"|(IV) | ! style="background: #FFDDDD;"|(IV) | ||
− | | | + | | <math>|\angle ASP| = |\angle BSP| </math> |
− | | | + | | (Def. Winkelhalbierende) |
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+ | ! style="background: #FFDDDD;"|(V) | ||
+ | | <math> | \angle ASP| + | \angle SPA| + | \angle SAP| = 180 </math> | ||
+ | | (Innenwinkelsumme im Dreieck) | ||
+ | |- | ||
+ | ! style="background: #FFDDDD;"|(VI) | ||
+ | | <math> | \angle BSP| + | \angle SPB| + | \angle SBP| = 180 </math> | ||
+ | | (Innenwinkelsumme im Dreieck) | ||
+ | |- | ||
+ | ! style="background: #FFDDDD;"|(VII) | ||
+ | | <math> | \angle ASP| + | \angle SPA| + | \angle SAP| = | \angle BSP| + | \angle SPB| + | \angle SBP| </math> | ||
+ | | (V), (VI), (rechnen mit reellen Zahlen) | ||
+ | |- | ||
+ | ! style="background: #FFDDDD;"|(VIII) | ||
+ | | <math> | \angle SPA| + | \angle SAP| = | \angle SPB| + | \angle SBP| </math> | ||
+ | | (VII), (IV), (rechnen mit reellen Zahlen) | ||
+ | |- | ||
+ | ! style="background: #FFDDDD;"|(IX) | ||
+ | | <math> | \angle SPA| = | \angle SPB| </math> | ||
+ | | (IX), (III), (rechnen mit reellen Zahlen) | ||
+ | |- | ||
+ | ! style="background: #FFDDDD;"|(X) | ||
+ | | <math>\overline{SP} \cong \overline{SP}</math> | ||
+ | | (trivial) | ||
+ | |- | ||
+ | ! style="background: #FFDDDD;"|(XI) | ||
+ | | <math>\overline{SBP} \cong \overline{SAP} </math> | ||
+ | | (WSW), (X), (IX), (IV) | ||
+ | |- | ||
+ | ! style="background: #FFDDDD;"|(XII) | ||
+ | | <math>\overline{PA} \cong \overline{PB} </math> | ||
+ | | (XI), (Def. Dreieckskongruenz) | ||
|} | |} | ||
+ | -->Beh wahr. qed <br /> | ||
+ | Somit ist die Äquivalenz gezeigt --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 11:35, 17. Jul. 2010 (UTC) |
Version vom 17. Juli 2010, 13:35 Uhr
Man beweise: Ein Punkt gehört genau dann zur Winkelhalbierenden des Winkels , wenn er zu den Schenkeln von jeweils denselben Abstand hat.
Versuch 1
Da es sich bei diesem Satz um eine Äquivalenzrelation handelt ("genau dann") muss die "Hin- und Rückrichtung" bewiesen werden.
1. Hinrichtung: "Wenn ein Punkt P zu den Schenkeln von jeweils denselben Abstand hat, dann gehört er zur Winkelhalbierenden des Winkels ."
VSS: ,
Beh: Winkelhalbierende von
Nr. | Beweisschritt | Begründung |
---|---|---|
(I) | sei der Lotfußpunkt von P auf den Strahl und B sei der Lotfußpunkt von P auf den Strahl | (Existenz und Eindeutigkeit Lot) |
(II) | (VSS) | |
(III) | (trivial) | |
(IV) | (Definition Lot) | |
(V) | ist größter Winkel im Dreieck | (Satz: höchstens ein rechter Winkel im Dreieck), (IV) |
(VI) | ist größter Winkel im Dreieck | (Satz: höchstens ein rechter Winkel im Dreieck), (IV) |
(VII) | liegt der Seite gegenüber liegt der Seite gegenüber |
(Satz: größter Winkel liegt längsten Seite gegenüber),(V), (VI) |
(VIII) | (SSW), (VII), (IV), (III), (II) | |
(IX) | (VIII), (Def. Dreieckskongruenz) | |
(X) | (IX), (Def. Winkelhalbierende), (Winkeladditionsaxiom) | |
(XI) | Winkelhalbierenden von --> Winkelhalbierende von | (X) |
--> Beh. wahr qed
2. Rückrichtung: "Wenn ein Punkt P zur Winkelhalbierenden des Winkels gehört, dann hat er zu den Schenkeln von jeweils denselben Abstand."
VSS: Winkelhalbierende von
Beh:
Nr. | Beweisschritt | Begründung |
---|---|---|
(I) | Winkelhalbierende von | (VSS) |
(II) | sei der Lotfußpunkt von P auf den Strahl und B sei der Lotfußpunkt von P auf den Strahl | (Existenz und Eindeutigkeit des Lotes) |
(III) | (II), (Def. Lot) | |
(IV) | (Def. Winkelhalbierende) | |
(V) | (Innenwinkelsumme im Dreieck) | |
(VI) | (Innenwinkelsumme im Dreieck) | |
(VII) | (V), (VI), (rechnen mit reellen Zahlen) | |
(VIII) | (VII), (IV), (rechnen mit reellen Zahlen) | |
(IX) | (IX), (III), (rechnen mit reellen Zahlen) | |
(X) | (trivial) | |
(XI) | (WSW), (X), (IX), (IV) | |
(XII) | (XI), (Def. Dreieckskongruenz) |
-->Beh wahr. qed
Somit ist die Äquivalenz gezeigt --Löwenzahn 11:35, 17. Jul. 2010 (UTC)