Serie 1 Geradengleichungen in der Ebene: Unterschied zwischen den Versionen

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<math>W</math> Wird jetzt einer Drehung mit dem Drehwinkel <math>45^\circ</math> um die <math>z-</math>Achse unterworfen. Geben Sie für die Raumdiagonalen des gedrehten Würfels jeweils eine Parameterdarstellung an, wobei die Richtungsvektoren jeweils Einheitsvektoren sein mögen.
 
<math>W</math> Wird jetzt einer Drehung mit dem Drehwinkel <math>45^\circ</math> um die <math>z-</math>Achse unterworfen. Geben Sie für die Raumdiagonalen des gedrehten Würfels jeweils eine Parameterdarstellung an, wobei die Richtungsvektoren jeweils Einheitsvektoren sein mögen.
 
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In der <math>y-z-</math>Ebene des <math>\mathbb{R}^3</math> sei die Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)=-x^2+10</math> gegeben. Wir erzeugen mittels Rotation um die <math>z-</math>Achse aus <math>f</math> ein Drehparaboloid <math>P</math>. <math>\varepsilon</math> sei die Ebene, die man erhält, wenn man die <math>y-z-</math>Ebene um <math>30^\circ</math> um die <math>z-</math>Achse dreht. Der Schnitt von <math>\varepsilon</math> mit <math>P</math> ist eine Parabel <math>p</math>. Geben Sie jeweils eine Parameterdarstellung für die beiden Tangenten an <math>p</math> an, die in <math>\varepsilon</math> liegen und deren Berührungspunkte jeweils den Abstand <math>50</math> zur <math>z-</math>Achse haben.
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In der <math>y-z-</math>Ebene des <math>\mathbb{R}^3</math> sei die Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)=-x^2+10</math> gegeben. Wir erzeugen mittels Rotation um die <math>z-</math>Achse aus <math>f</math> ein Drehparaboloid <math>P</math>. <math>\varepsilon</math> sei die Ebene, die man erhält, wenn man die <math>y-z-</math>Ebene um <math>30^\circ</math> um die <math>z-</math>Achse dreht. Der Schnitt von <math>\varepsilon</math> mit <math>P</math> ist eine Parabel <math>p</math>. Geben Sie jeweils eine Parameterdarstellung für die beiden Tangenten an <math>p</math> an, die in <math>\varepsilon</math> liegen und deren Berührungspunkte jeweils den Abstand <math>2</math> zur <math>z-</math>Achse haben.

Version vom 2. Mai 2019, 16:56 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Aufgabe 1

Gegeben seien die Punkte A \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \sqrt{3} +2 \right) und B \left(-\sqrt{\frac{4}{3}} , 0 \right).
Beschreiben Sie die Gerade AB jeweils durch eine Gleichung der Form

  1. y=mx+n
  2. ax+by+c=0
  3. P=A+t\vec{r}

.

Aufgabe 2

Die Gerade g möge die x-Achse unter einem Winkel von 30^\circ im Punkt A\left(\sqrt{2}, 0\right) schneiden.

  1. Zeichnen Sie ein kartesisches Koordinatensystem auf ein Blatt Papier. Konstruieren Sie nur mit Zirkel und Lineal eine grafische Darstellung der Geraden g bezüglich Ihres Koordinatensystems.
  2. Geben Sie eine Gleichung der Form y=mx+n zur Beschreibung von g an.
  3. Geben Sie eine Gleichung der Form ax+by+c=0 zur Beschreibung von g an.
  4. Geben Sie eine Gleichung der Form P=A+t\vec{r}zur Beschreibung von g an.

Aufgabe 3

Eine Gerade g habe ein Anstiegsdreieck, dessen zur y- Achse parallele Kathete die Länge \Delta y hat. Die andere Kathete möge die Länge \Delta x haben. Geben sie fünf Vektoren \overrightarrow{n_1}, \overrightarrow{n_2}, \overrightarrow{n_3}, \overrightarrow{n_4}, \overrightarrow{n_5} an, die bezüglich g Normalenvektoren sind. Einer dieser Vektoren möge die Länge 1 haben, d.h. ein Normaleneinheitsvektor sein.

Aufgabe 4

Zeichnen Sie auf ein Blatt Papier ein kartesisches Koordinatensystem.

  1. Zeichen Sie bezüglich dieses Koordinatensystems die Gerade g ein, die durch die Gleichung y=\frac{3}{5}x beschrieben wird.
  2. Zeichnen Sie bezüglich dieses Koordinatensystems die Gerade h ein, die durch die Gleichung \frac{3}{5}x-\frac{4}{5}=0 beschrieben wird.
  3. Zeichnen Sie bezüglich dieses Koordinatensystems die Gerade i ein, die durch die Gleichung -3x+4y=0 beschrieben wird.
  4. Interpretieren Sie die Gleichungen für h und i als ax+by=0. Zeichnen Sie für beide Geraden jeweils die Vektoren \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} ein.
  5. Zeichnen Sie den Punkt P\left(10, \frac{10}{8} \right) ein. Messen Sie den Abstand von P zu g.
  6. Berechnen Sie \frac{3}{5}10-\frac{4}{5}\frac{10}{8}=d. Was stellen Sie fest?

Aufgabe 5

Gegeben sei die Funktion f mittels der Gleichung f(x)=\frac{3}{2}x^2+1. Beschreiben Sie die Tangente t an f im Punkt B(2, f(2) durch Gleichungen der Form

  1. y=mx+n
  2. ax+by+c=0
  3. P=A+t\vec{r}

Aufgabe 6

Im \mathbb{R}^3 sei ein Würfel W mit der Kantenlänge 1gegeben. Die Grundfläche von W sei das Quadrat \overline{ABCD}, wobei A auf der positiven x-Achse, B auf der positiven y-Achse, C auf der negativen x-Achse und D auf der negativen y-Achse liegen mögen. Die Deckfläche von W erhalten wir durch Verschiebung der Grundfläche längs des Vektors \overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}. Der Punkt A wird bei dieser Verschiebung auf den Punkt E abgebildet, desweiteren B auf F, C auf G und schließlich D auf den Punkt H.
W Wird jetzt einer Drehung mit dem Drehwinkel 45^\circ um die z-Achse unterworfen. Geben Sie für die Raumdiagonalen des gedrehten Würfels jeweils eine Parameterdarstellung an, wobei die Richtungsvektoren jeweils Einheitsvektoren sein mögen.

Aufgabe 7

In der y-z-Ebene des \mathbb{R}^3 sei die Funktion f mit f(x)=-x^2+10 gegeben. Wir erzeugen mittels Rotation um die z-Achse aus f ein Drehparaboloid P. \varepsilon sei die Ebene, die man erhält, wenn man die y-z-Ebene um 30^\circ um die z-Achse dreht. Der Schnitt von \varepsilon mit P ist eine Parabel p. Geben Sie jeweils eine Parameterdarstellung für die beiden Tangenten an p an, die in \varepsilon liegen und deren Berührungspunkte jeweils den Abstand 2 zur z-Achse haben.

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