Übungsaufgaben zur Algebra, Serie 2 SoSe 2019: Unterschied zwischen den Versionen

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Beweisen Sie: Wenn eine Gruppe die Ordnung <math>4</math> hat, dann ist sie entweder zyklisch oder sie ist eine Kleinsche Vierergruppe.
 
Beweisen Sie: Wenn eine Gruppe die Ordnung <math>4</math> hat, dann ist sie entweder zyklisch oder sie ist eine Kleinsche Vierergruppe.
 
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Wir definieren <math>F:=\{(r,g,b)|0 \leq r \leq 255, 0 \leq g \leq 255, 0 \leq b \leq 255\}</math>. Auf <math>F</math> legen wir eine Operation <math>\oplus</math> wie folgt fest: <math>\forall (r_1,g_1,b_1) , (r_2,g_2,b_2) \in F : (r_1,g_1,b_1) \oplus (r_2,g_2,b_2):= (Rest((r_1+r_2),256),Rest((g_1+g_2),256),Rest((b_1+b_2),256) )</math>.  
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Wir definieren <math>F:=\{(r,g,b)|r,g,b \in \mathbb{N}, 0 \leq r \leq 255, 0 \leq g \leq 255, 0 \leq b \leq 255\}</math>. Auf <math>F</math> legen wir eine Operation <math>\oplus</math> wie folgt fest: <math>\forall (r_1,g_1,b_1) , (r_2,g_2,b_2) \in F : (r_1,g_1,b_1) \oplus (r_2,g_2,b_2):= (Rest((r_1+r_2),256),Rest((g_1+g_2),256),Rest((b_1+b_2),256) )</math>.  
 
Beweisen Sie: <math>[F, \oplus]</math> ist eine Gruppe
 
Beweisen Sie: <math>[F, \oplus]</math> ist eine Gruppe
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<!--- Was hier drunter steht muss stehen bleiben --->
 
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[[Kategorie:Algebra]]
 
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Version vom 18. Juni 2019, 13:39 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Aufgabe 01

Es sei \mathbb{L} die Menge aller reellen Funktionen die durch eine Funktionsgleichung vom Typ y=mx+n beschreibbar sind (m,n\in \mathbb{R}, m \neq 0). Unter \circ wollen wir die NAF von Funktionen verstehen. Beweisen Sie: [\mathbb{L}, \circ] ist eine Gruppe.
Hinweis: Die NAF von Funktionen ist generell assoziativ. Diesbezüglich müssen Sie nichts beweisen.

Aufgabe 02

Es sei \mathbb{P} die Menge aller reellen Funktionen die durch eine Funktionsgleichung vom Typ y=mx beschreibbar sind (m\in \mathbb{R}, m \neq 0). Unter \circ wollen wir die NAF von Funktionen verstehen. Beweisen Sie: [\mathbb{P}, \circ] ist eine Untergruppe von [\mathbb{L}, \circ].

Aufgabe 03

Untergruppenkriterium 1:
Es sei [G, \circ] eine Gruppe und U \subseteq G. [U, \circ] ist Untergruppe von [G, \circ] \Leftrightarrow

  1. \forall a, b \in U: a \circ b \in U,
  2. \forall a \in U : a^{-1} \in U.

Beweisen Sie das Untergruppenkriterium 1

Aufgabe 4

Unter der Kleinschen Vierergruppe versteht man eine Gruppe mit 4 Elementen, die alle selbstinvers sind.
Geben Sie 3 konkrete Kleinsche Viergruppen an, und betten Sie diese als ein Untergruppe in jeweils eine Obergruppe ein.

Aufgabe 5

Beweisen Sie: Wenn eine Gruppe die Ordnung 4 hat, dann ist sie entweder zyklisch oder sie ist eine Kleinsche Vierergruppe.

Aufgabe 6

Wir definieren F:=\{(r,g,b)|r,g,b \in \mathbb{N}, 0 \leq r \leq 255, 0 \leq g \leq 255, 0 \leq b \leq 255\}. Auf F legen wir eine Operation \oplus wie folgt fest: \forall (r_1,g_1,b_1) , (r_2,g_2,b_2) \in F : (r_1,g_1,b_1) \oplus (r_2,g_2,b_2):= (Rest((r_1+r_2),256),Rest((g_1+g_2),256),Rest((b_1+b_2),256) ). Beweisen Sie: [F, \oplus] ist eine Gruppe

Aufgabe 7

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