Lösung von Aufgabe 12.4: Unterschied zwischen den Versionen
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− | | | + | | Auf dem entstanden Strahl trägt man die Länge von <math>\ |AP|</math> an. Es entsteht der Punkt <math>\ P'</math>. |
− | | | + | | Axiom III.1 (Axiom vom Lineal) |
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− | | | + | | <math>\ PP' \cap g </math>. Der Schnittpunkt sei <math>\ L</math>. |
− | | | + | | Axiom III.2: Das Axiom von Pasch |
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− | | | + | | Es entstehen zwei kongruente Dreiecke <math>\overline {PLA}</math> und <math>\overline {P'LA}</math> |
− | | | + | | SWS |
+ | S - <math>\overline {PA} \cong \overline {P'A}</math> (III) | ||
+ | <br />W - <math>\alpha \cong \alpha'</math> (II) | ||
+ | <br />S - <math>\overline {AL} \cong \overline {AL}</math> trivial | ||
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− | | | + | | Die Winkel an <math>\ L</math> sind rechte Winkel |
− | | | + | | (IV), (V), kongruente Nebenwinkel sind rechte Winkel (Definition V.6 : Rechter Winkel) |
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− | | | + | | <math>\ PL</math> steht senkrecht auf <math>\ g \rightarrow PL</math> ist Lotgerade, <math>\overline {PL} \ </math> ist Lot(strecke) |
− | | | + | | (VI), Definition Lot |
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Version vom 20. Juli 2010, 14:37 Uhr
Beweisen Sie die Existenz und die Eindeutigkeit des Lotes von einem Punkt auf eine Gerade .
Existenz
Voraussetzung: Gerade , Punkt
Behauptung: Es existiert ein Lot von auf mit Lotfußpunkt
Analoge Behauptung (Definition von Lot) Es existiert eine Senkrechte auf , die durch geht.
Nr. | Beweisschritt | Begründung |
---|---|---|
(I) | Es existiert ein Punkt , der Abstand zu P beträgt | Axiom I/1 (Axiom von der Geraden), Axiom III.1 (Axiom vom Lineal) |
(II) | Am Scheitelpunkt wird an der Gerade der Winkel in die Halbebene abgetragen. | Winkelkonstruktionsaxiom |
(III) | Auf dem entstanden Strahl trägt man die Länge von an. Es entsteht der Punkt . | Axiom III.1 (Axiom vom Lineal) |
(IV) | . Der Schnittpunkt sei . | Axiom III.2: Das Axiom von Pasch |
(V) | Es entstehen zwei kongruente Dreiecke und | SWS
S - (III)
|
(VI) | Die Winkel an sind rechte Winkel | (IV), (V), kongruente Nebenwinkel sind rechte Winkel (Definition V.6 : Rechter Winkel) |
(VII) | steht senkrecht auf ist Lotgerade, ist Lot(strecke) | (VI), Definition Lot |
Kleine Anmerkung: Bei Schritt (II) muss man an sich auch definieren, dass der Winkel bezüglich in der selben Halbebene liegt. An dieser Stelle wurde es wg. besserer Übersicht weggelassen.
Eindeutigkeit
Voraussetzung: Gerade , Punkt , Lot von auf mit Lotfußpunkt
Behauptung: Es existiert genau ein Lot von auf .
Indirekter Beweis - Annahme: Es existieren zwei "Lote" von auf .
Annahme: Es existiert ein zweiter Lotfußpunkt
Nr. | Beweisschritt | Begründung |
---|---|---|
(I) | Es existiert ein Dreieck | VSS, Punkte sind nicht kollinear, da laut Definition Lot und Lotfußpunkt. |
(II) | Annahme, ist Lotfußpunkt | |
(III) | VSS, ist Lotfußpunkt | |
(IV) | Außenwinkel von | Supplementaxiom |
(V) | Außenwinkel von
|
Schwacher Außenwinkelsatz |
(VI) | Annahme muss verworfen werden | Widerspruch zwischen (V) und (III) !!! |
--Heinzvaneugen 00:27, 13. Jul. 2010 (UTC)