Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende: Unterschied zwischen den Versionen
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:: Es seien <math>\ p</math>,<math>\ w</math> und <math>\ q</math> drei Halbgeraden ein und derselben Ebene mit dem gemeinsamen Anfangspunkt <math>\ S</math>. Die Halbgerade <math>\ w</math> ist die Winkelhalbierende des Winkels <math>\angle pq</math>, wenn <math>\ w</math> im Inneren von <math>\angle pq</math> liegt und die beiden Winkel <math>\angle pw</math> und <math>\angle wq</math> dieselbe Größe haben. | :: Es seien <math>\ p</math>,<math>\ w</math> und <math>\ q</math> drei Halbgeraden ein und derselben Ebene mit dem gemeinsamen Anfangspunkt <math>\ S</math>. Die Halbgerade <math>\ w</math> ist die Winkelhalbierende des Winkels <math>\angle pq</math>, wenn <math>\ w</math> im Inneren von <math>\angle pq</math> liegt und die beiden Winkel <math>\angle pw</math> und <math>\angle wq</math> dieselbe Größe haben. | ||
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===== Satz VI.<math> 1 \frac{1}{2}</math> ===== | ===== Satz VI.<math> 1 \frac{1}{2}</math> ===== | ||
Version vom 24. Juli 2010, 20:51 Uhr
Inhaltsverzeichnis |
Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende
Mittelsenkrechte
Eine Mittelsenkrechte ist das, was ihre Bezeichnung ausdrückt: eine Gerade, die eine Strecke halbiert und senkrecht auf ihr steht.
Definition VI.1: (Mittelsenkrechte)
- Es sei
eine Gerade und 
eine Strecke, die durch im Punkt 
geschnitten wird. ist die Mittelsenkrechte von , wenn
- Es sei
Satz VI.1: (Existenz und Eindeutigkeit der Mittelsenkrechten)
- Jede Strecke hat in jeder Ebene, zu der die Strecke vollständig gehört, genau eine Mittelsenkrechte.
Beweis von Satz VI.1
Es sei eine Strecke, die vollständig zur Ebene 
gehören möge.
Behauptungen:
- Es gibt in Gerade , die die Mittelsenkrechte von ist.
- Es gibt in nicht mehr als eine Gerade , die die Mittelsenkrechte von ist.
Beweis der Existenzbehauptung:
Aus Gründen der effizienten Bezeichnung führen wir den Punkt 
ein, der zur Ebene aber nicht zur Geraden 
gehören möge.
| Nr. | Beweisschritt | Begründung |
|---|---|---|
| (i) | 
|
Definition III.1 (Mittelpunkt) |
| (ii) | 
|
Definition V.6 (rechter Winkel) |
| (iii) |  ist Mittelsenkrechte von
|
(ii), (i), Definition V.8 (Relation senkrecht), Definition VI.1 (Mittelsenkrechte) |
Bemerkung: Ihnen fällt sicherlich auf, dass wir nach dem Beweis von Satz V.5 die Existenz der Mittelsenkrechten von gar nicht so ausführlich hätten führen müssen. Der Beweis von Satz V.5 steht momentan jedoch noch als Übungsaufgabe aus.
Beweis der Eindeutigkeitsbehauptung
Die Eindeutigkeit des Mittelpunktes einer Strecke wurde bereits bewiesen (Satz III.1). Die Eindeutigkeit der Senkrechten in einem Punkt einer Geraden zu dieser Geraden wird/wurde mit Satz V.5 bewiesen.
Winkelhalbierende
Ein Winkel ist ein Paar von Halbgeraden, die einen gemeinsamen Anfangspunkt haben. Eine Winkelhalbierende teilt einen Winkel in zwei Teilwinkel, die jeweils dieselbe Größe haben. Die Teilwinkel werden dadurch gebildet, dass jeder Schenkel des ursprünglichen Winkels jeweils mit der Winkelhalbierenden zu einem neuen Winkel zusammengefasst wird. Es ist also sinnvoll, die Winkelhalbierende eines Winkels als eine besondere Halbgerade zu definieren.
Definition VI.2
- Es seien
,
und 
drei Halbgeraden ein und derselben Ebene mit dem gemeinsamen Anfangspunkt 
. Die Halbgerade ist die Winkelhalbierende des Winkels 
, wenn im Inneren von liegt und die beiden Winkel 
und 
dieselbe Größe haben.
- Es seien
Satz VI.
- Es sei
die Winkelhalbierende des Winkels 
. Dann gilt 
.
- Es sei
Beweis von Satz VI.
Übungsaufgabe 10.4
Satz VI.2 (Existenz und Eindeutigkeit der Winkelhalbierenden)
- Zu jedem Winkel gibt es genau eine Winkelhalbierende.
Beweis von Satz VI.2
Übungsaufgabe 10.5
Die Lösung dieser Übungsaufgabe dient der Antwort von 10.4... Doch wo wird Satz V.2 bewiesen: Zu jedem Winkel gibt es GENAU EINE Winkelhalbierende?
