Lösung von Aufg. 7: Unterschied zwischen den Versionen
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Gegeben seien drei paarweise verschiedene und '''kollineare''' Punkte ''A'', ''B'' und ''C'' in einer Ebene ''E''. Ferner sei eine Gerade ''g'' Teilmenge der Ebene ''E'', wobei keiner der Punkte ''A'', ''B'' und ''C'' auf ''g'' liegen möge. Beweisen Sie folgenden Zusammenhang:<br /><br /> | Gegeben seien drei paarweise verschiedene und '''kollineare''' Punkte ''A'', ''B'' und ''C'' in einer Ebene ''E''. Ferner sei eine Gerade ''g'' Teilmenge der Ebene ''E'', wobei keiner der Punkte ''A'', ''B'' und ''C'' auf ''g'' liegen möge. Beweisen Sie folgenden Zusammenhang:<br /><br /> | ||
<math>\overline{AB} \cap g \neq \lbrace \rbrace \wedge \overline{BC} \cap g = \lbrace \rbrace \Rightarrow \overline{AC} \cap g \neq \lbrace \rbrace </math> <br /> | <math>\overline{AB} \cap g \neq \lbrace \rbrace \wedge \overline{BC} \cap g = \lbrace \rbrace \Rightarrow \overline{AC} \cap g \neq \lbrace \rbrace </math> <br /> | ||
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+ | ==Lösung--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 12:33, 22. Dez. 2010 (UTC)== | ||
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+ | Vor.:<br /> | ||
+ | *drei paarweise verschiedene und '''kollineare''' Punkte ''A'', ''B'' und ''C'' in einer Ebene ''E'' | ||
+ | *<math>\ g \subset E</math> | ||
+ | *<math>\ A,B,C \notin g</math> | ||
+ | *<math>\overline{AB} \cap g \neq \lbrace \rbrace \wedge \overline{BC} \cap g = \lbrace \rbrace </math><br /> | ||
+ | Beh.: <math>\overline{AC} \cap g \neq \lbrace \rbrace </math><br /><br /> | ||
+ | Der folgende Beweis ist nur einer von vielen möglichen. Fühlen Sie sich frei Ihre Version auch mit hier einzustellen!<br /> | ||
+ | Die Idee des folgenden Beweises liegt darin, sich einen weiteren Punkt ''P'' in der Halbebene <math>\ gA^{+}</math> zu erzeugen, der nichtkollinear zu ''A,B,C'' ist und dann das Axiom von Pasch mehrfach anzuwenden:<br /> | ||
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+ | |+ Beweis | ||
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+ | | Vor. | ||
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+ | | <math>\exists T \in g \wedge T \not= S</math> | ||
+ | | Axiom I/2 | ||
+ | |- | ||
+ | ! style="background: #FFDDDD;"|(III) | ||
+ | | <math>\exists P \in \overline{AT} \wedge P \notin g \wedge P \not=A</math> | ||
+ | | Axiom vom Lineal | ||
+ | |- | ||
+ | ! style="background: #FFDDDD;"|(IV) | ||
+ | | <math>\ P \in gA^{+}</math> | ||
+ | | (II), (III) | ||
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+ | | <math>\overline{PA} \cap g = \lbrace \rbrace</math> | ||
+ | | (IV), Def. Halbebene | ||
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+ | | <math>\overline{AB} \cap g \not= \lbrace \rbrace</math> | ||
+ | | Vor. | ||
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+ | | <math>\overline{PB} \cap g \not= \lbrace \rbrace</math> | ||
+ | | (V), (VI), Axiom von Pasch | ||
+ | |- | ||
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+ | | <math>\overline{BC} \cap g = \lbrace \rbrace</math> | ||
+ | | Vor. | ||
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+ | ! style="background: #FFDDDD;"|(IX) | ||
+ | | <math>\overline{PC} \cap g \not= \lbrace \rbrace</math> | ||
+ | | (VII), (VIII), Axiom von Pasch | ||
+ | |- | ||
+ | ! style="background: #FFDDDD;"|(X) | ||
+ | | <math>\overline{AC} \cap g \not= \lbrace \rbrace</math> | ||
+ | | (V), (IX), Axiom von Pasch | ||
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Aktuelle Version vom 22. Dezember 2010, 15:48 Uhr
Gegeben seien drei paarweise verschiedene und kollineare Punkte A, B und C in einer Ebene E. Ferner sei eine Gerade g Teilmenge der Ebene E, wobei keiner der Punkte A, B und C auf g liegen möge. Beweisen Sie folgenden Zusammenhang:
Lösung--Schnirch 12:33, 22. Dez. 2010 (UTC)
Vor.:
- drei paarweise verschiedene und kollineare Punkte A, B und C in einer Ebene E
Beh.:
Der folgende Beweis ist nur einer von vielen möglichen. Fühlen Sie sich frei Ihre Version auch mit hier einzustellen!
Die Idee des folgenden Beweises liegt darin, sich einen weiteren Punkt P in der Halbebene zu erzeugen, der nichtkollinear zu A,B,C ist und dann das Axiom von Pasch mehrfach anzuwenden:
Nr. | Beweisschritt | Begründung |
---|---|---|
(I) | Vor. | |
(II) | Axiom I/2 | |
(III) | Axiom vom Lineal | |
(IV) | (II), (III) | |
(V) | (IV), Def. Halbebene | |
(VI) | Vor. | |
(VII) | (V), (VI), Axiom von Pasch | |
(VIII) | Vor. | |
(IX) | (VII), (VIII), Axiom von Pasch | |
(X) | (V), (IX), Axiom von Pasch |