Projektionen und Strahlensätze 2010: Unterschied zwischen den Versionen

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:: Es sei <math>\ \beta</math> eine Ebene des Raumes <math>\mathfrak{R}</math> und <math>\mathcal{R}</math> eine Richtung mit <math>\neg \exist g: g \subset \mathcal{R} \and g \subset \beta</math>.<br />
 
:: Es sei <math>\ \beta</math> eine Ebene des Raumes <math>\mathfrak{R}</math> und <math>\mathcal{R}</math> eine Richtung mit <math>\neg \exist g: g \subset \mathcal{R} \and g \subset \beta</math>.<br />
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Unter der Parallelprojektion des Raumes <math>\mathfrak{R}</math> auf die Bildebene <math>\ \beta</math> mit der Projektionsrichtung <math>\mathcal{R}</math> versteht man die Abbildung von <math>\mathfrak{R}</math> auf <math>\ \beta</math>, die jedem Punkt <math>\ P \in \mathfrac{R}</math> derart auf sein Bild <math>\ P'</math> abbildet, dass gilt:<br />
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Unter der Parallelprojektion des Raumes <math>\mathfrak{R}</math> auf die Bildebene <math>\ \beta</math> mit der Projektionsrichtung <math>\mathcal{R}</math> versteht man die Abbildung von <math>\mathfrac{R}</math> auf <math>\ \beta</math>, die jedem Punkt <math>\ P \in \mathfrac{R}</math> derart auf sein Bild <math>\ P'</math> abbildet, dass gilt:<br />
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<math>P'=g \cap \beta</math> mit <math>g \in \mathcl{R} \and P \in g</math>
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<math>P'=g \cap \beta</math> mit <math>g \in \mathcal{R} \and P \in g</math>
 
:: Es sei <math>\ \beta</math> eine Ebene des Raumes <math>\mathfrak{R}</math> und <math>\ g</math> eine Gerade aus <math>\mathfrak{R}</math> mit <math>\ \ g \not\|\mathfrak{R}</math>.<br /> Die Parellelenprojektion <math>\ PP_{g,\beta}</math> ist eine Abbildung von <math>\mathfrak{R}</math> auf die Ebene <math>\ \beta</math> mit:<br /><math>\forall A \in \mathfrak{R}: \exists h: A \in h \land h \| g: PP_{g,\beta}(A)=h \cap \beta</math>
 
:: Es sei <math>\ \beta</math> eine Ebene des Raumes <math>\mathfrak{R}</math> und <math>\ g</math> eine Gerade aus <math>\mathfrak{R}</math> mit <math>\ \ g \not\|\mathfrak{R}</math>.<br /> Die Parellelenprojektion <math>\ PP_{g,\beta}</math> ist eine Abbildung von <math>\mathfrak{R}</math> auf die Ebene <math>\ \beta</math> mit:<br /><math>\forall A \in \mathfrak{R}: \exists h: A \in h \land h \| g: PP_{g,\beta}(A)=h \cap \beta</math>
 
::Die Ebene <math>\ \beta</math> heißt Bildebene bei der Parallelenprojektion <math>\ PP_{g,\beta}</math> und die Gerade  <math>\ g</math> heißt eine Repräsentantengerade (?? keine Ahnung, wie man die nennen könnte bzw. ob man üblicherweise überhaupt eine Gerade zum Definineren nutzt?) der <math>\ PP_{g,\beta}</math>.--[[Benutzer:Tja???|Tja???]] 17:13, 16. Jan. 2011 (UTC)
 
::Die Ebene <math>\ \beta</math> heißt Bildebene bei der Parallelenprojektion <math>\ PP_{g,\beta}</math> und die Gerade  <math>\ g</math> heißt eine Repräsentantengerade (?? keine Ahnung, wie man die nennen könnte bzw. ob man üblicherweise überhaupt eine Gerade zum Definineren nutzt?) der <math>\ PP_{g,\beta}</math>.--[[Benutzer:Tja???|Tja???]] 17:13, 16. Jan. 2011 (UTC)

Version vom 18. Januar 2011, 15:47 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Zentralprojektionen

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Begriff der Zentralprojektion

Definition II.01: (Zentralprojektion des Raumes auf eine Ebene)

Es sei \ \beta eine Ebene des Raumes \mathfrak{R} und \ Z ein Punkt aus \mathfrak{R} der nicht zu \ \beta gehört.
Die Zentralprojektion \ ZP_{Z,\beta} ist eine Abbildung von \mathfrak{R}\setminus{Z} auf die Ebene \ \beta mit:
\forall P \in \mathfrak{R}\setminus{Z}: ZP_{Z,\beta}(P)=ZP \cap \beta
Die Ebene \ \beta heißt Bildebene bei der Zentralprojektion \ ZP_{Z,\beta} und der Punkt \ Z Zentralpunkt der \ ZP_{Z,\beta}.

Definition II.02: (Zentralprojektion der Ebene auf eine Gerade)

Versuchen Sie es selbst.
Es sei \ g eine Gerade der Ebene \beta und \ Z ein Punkt aus \beta der nicht zu \ g gehört.
Die Zentralprojektion \ ZP_{Z,g} ist eine Abbildung von \beta\setminus{Z} auf die Gerade \ g mit:
\forall P \in \beta\setminus{Z}: ZP_{Z,g}(P)=ZP \cap g
Die Gerade \ g heißt Bildgerade bei der Zentralprojektion \ ZP_{Z,g} und der Punkt \ Z Zentralpunkt der \ ZP_{Z,g}.
--Tja??? 10:47, 13. Jan. 2011 (UTC)

korrekt, --*m.g.* 15:54, 13. Jan. 2011 (UTC) Wie wäre es damit:

Definition II.03: (Richtung)

Eine Richtung ist eine Äquivalenzklasse nach der Relation "parallel" auf der Menge aller Geraden.

Definition II.04: (Parallelprojektion des Raumes auf eine Ebene)

Es sei \ \beta eine Ebene des Raumes \mathfrak{R} und \mathcal{R} eine Richtung mit \neg \exist g: g \subset \mathcal{R} \and g \subset \beta.

Unter der Parallelprojektion des Raumes \mathfrak{R} auf die Bildebene \ \beta mit der Projektionsrichtung \mathcal{R} versteht man die Abbildung von Fehler beim Parsen(Unbekannte Funktion „\mathfrac“): \mathfrac{R} 

auf \ \beta, die jedem Punkt Fehler beim Parsen(Unbekannte Funktion „\mathfrac“): \ P \in \mathfrac{R}
derart auf sein Bild \ P' abbildet, dass gilt:

P'=g \cap \beta mit g \in \mathcal{R} \and P \in g

Es sei \ \beta eine Ebene des Raumes \mathfrak{R} und \ g eine Gerade aus \mathfrak{R} mit \ \ g \not\|\mathfrak{R}.
Die Parellelenprojektion \ PP_{g,\beta} ist eine Abbildung von \mathfrak{R} auf die Ebene \ \beta mit:
\forall A \in \mathfrak{R}: \exists h: A \in h \land h \| g: PP_{g,\beta}(A)=h \cap \beta
Die Ebene \ \beta heißt Bildebene bei der Parallelenprojektion \ PP_{g,\beta} und die Gerade \ g heißt eine Repräsentantengerade (?? keine Ahnung, wie man die nennen könnte bzw. ob man üblicherweise überhaupt eine Gerade zum Definineren nutzt?) der \ PP_{g,\beta}.--Tja??? 17:13, 16. Jan. 2011 (UTC)

Definition II.04: (Parallelprojektion der Ebene auf eine Gerade)

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