Die Umkehrung des Stufenwinkelsatzes (WS10/11): Unterschied zwischen den Versionen

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Die Winkel <pq und <rs heißen Stufenwinkel, falls ein Schenkel r des einen Winkels eine Teilmenge des Schenkels p des anderen Winkels ist. Die anderen beiden Schenkel q und s mögen in einer Halbebene bezüglich der Geraden g liegen, die durch die Schenkel p und r gegeben ist.--[[Benutzer:Halikarnaz|Halikarnaz]] 13:25, 23. Jan. 2011 (UTC)
  
 
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Version vom 23. Januar 2011, 14:25 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Stufenwinkel, Wechselwinkel, entgegengesetzt liegende Winkel

In welchen Fällen handelt es sich um....

Stufenwinkel
Wechselwinkel
entgegengesetzt liegende Winkel?

Definition X.1: (Stufenwinkel)

Die Winkel <pq und <rs heißen Stufenwinkel, falls ein Schenkel r des einen Winkels eine Teilmenge des Schenkels p des anderen Winkels ist. Die anderen beiden Schenkel q und s mögen in einer Halbebene bezüglich der Geraden g liegen, die durch die Schenkel p und r gegeben ist.--Halikarnaz 13:25, 23. Jan. 2011 (UTC)

Definition X.2: (Wechselwinkel)

Zwei Winkel <pq und <rs heißen Wechselwinkel, falls der Scheitelwinkel des Winkels <pq und der Winkel <rs Stufenwinkel sind.--Halikarnaz 13:23, 23. Jan. 2011 (UTC)

Definition X.3: (entgegengesetzt liegende Winkel)

Übungsaufgabe

Wenn zwei zueinander parallele Geraden p und p* von einer Geraden g geschnitten werden, so bezeichnet man die beiden Winkel <gp und <gp*, die bezüglich der Geraden g in derselben Halbebene, aber jeweils auf unterschiedlichen Seiten von p und p* liegen, als entgegengesetzt liegende Winkel. Entgegengesetzt liegende Winkel ergänzen sich zu 180°(diese Eigenschaft folgt direkt aus dem Parallelenaxiom der euklidischen Geometrie).(Umgekehrt kann auf die Parallelität von Geraden geschlossen werden)--Halikarnaz 13:22, 23. Jan. 2011 (UTC)

Die Umkehrung des Stufenwinkelsatzes

Satz X.1: (Umkehrung des Stufenwinkelsatzes)
Es seien \ a und \ b zwei nicht identische Geraden, die durch eine dritte Gerade \ c jeweils geschnitten werden. Es seien ferner \ \alpha und \ \beta zwei Stufenwinkel, die bei dem Schnitt von \ c mit \ a und \ b entstehen mögen.
Wenn die beiden Stufenwinkel \ \alpha und \ \beta kongruent zueinander sind, dann sind die Geraden \ a und \ b parallel zueinander.
Beweis von Satz X.1: (Umkehrung des Stufenwinkelsatzes)

Es seien \ a, b und \ c drei paarweise nicht identische Geraden. Die Gerade \ c möge \ a in dem Punkt \ A und die Gerade \ b in dem Punkt \ B schneiden. \ \alpha und \ \beta sei ein Paar von Stufenwinkeln , welches bei dem Schnitt von \ a und \ b mit \ c entstehen möge.

Voraussetzung:

(i) \ \alpha \cong \beta

Umkehrung stufenwinkelsatz 01.png

Behauptung:

\ a \| b

Annahme:

a\not\| b

Den Rest können Sie selbst!


Voraussetzung:

  1. \ a \not\equiv b \not\equiv c
  2. \alpha und \beta sind Stufenwinkel
  3. \alpha \cong \beta
  4. \ b \cap c = {\ B}
  5. \ a \cap c = {\ A}

Behauptung:

\ a \| b

Annahme:

a\not\| b
1) a\not\| b Annahme
2) \ a \equiv b oder \ a \cap b = {\ S} 1), Schnittpunkt von Geraden
3) \ a \equiv b Widerspruch zur 1. Voraussetzung
4) \ a \cap b = {\ S} \Rightarrow \ a \| c oder \ a \equiv c 2), Definition Schnittpunkt von Geraden, 2. und 3. Voraussetzung
5) \ a \equiv c Widerspruch zur 1. und 5. Voraussetzung
6) \ a \| c Widerspruch zur 5. Voraussetzung

\Rightarrow Annahme verwerfen \Rightarrow Behauptung stimmt.
q.e.d.--Jbo-sax 18:39, 20. Jan. 2011 (UTC)

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