Die Umkehrung des Stufenwinkelsatzes (WS10/11)

Stufenwinkel, Wechselwinkel, entgegengesetzt liegende Winkel

In welchen Fällen handelt es sich um....

Stufenwinkel

Wechselwinkel

entgegengesetzt liegende Winkel?

Definition X.1: (Stufenwinkel)

Die Winkel <pq und <rs heißen Stufenwinkel, falls ein Schenkel r des einen Winkels eine Teilmenge des Schenkels p des anderen Winkels ist. Die anderen beiden Schenkel q und s mögen in einer Halbebene bezüglich der Geraden g liegen, die durch die Schenkel p und r gegeben ist.--Halikarnaz 13:25, 23. Jan. 2011 (UTC)

Definition X.2: (Wechselwinkel)

Zwei Winkel <pq und <rs heißen Wechselwinkel, falls der Scheitelwinkel des Winkels <pq und der Winkel <rs Stufenwinkel sind.--Halikarnaz 13:23, 23. Jan. 2011 (UTC)

===== Definition X.3: (entgegengesetzt liegende Winkel)

Die Umkehrung des Stufenwinkelsatzes

Satz X.1: (Umkehrung des Stufenwinkelsatzes)

Es seien $\ a$ und $\ b$ zwei nicht identische Geraden, die durch eine dritte Gerade $\ c$ jeweils geschnitten werden. Es seien ferner $\ \alpha$ und $\ \beta$ zwei Stufenwinkel, die bei dem Schnitt von $\ c$ mit $\ a$ und $\ b$ entstehen mögen.

Wenn die beiden Stufenwinkel $\ \alpha$ und $\ \beta$ kongruent zueinander sind, dann sind die Geraden $\ a$ und $\ b$ parallel zueinander.

Beweis von Satz X.1: (Umkehrung des Stufenwinkelsatzes)

Es seien $\ a, b$ und $\ c$ drei paarweise nicht identische Geraden. Die Gerade $\ c$ möge $\ a$ in dem Punkt$\ A$ und die Gerade $\ b$ in dem Punkt $\ B$ schneiden. $\ \alpha$ und $\ \beta$ sei ein Paar von Stufenwinkeln , welches bei dem Schnitt von $\ a$ und $\ b$ mit $\ c$ entstehen möge.

Voraussetzung:

(i) $\ \alpha \cong \beta$

Behauptung:

$\ a \| b$

Annahme:

$a\not\| b$

Den Rest können Sie selbst!

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Voraussetzung:

1. $\ a \not\equiv b \not\equiv c$
2. $\alpha$ und $\beta$ sind Stufenwinkel
3. $\alpha \cong \beta$
4. $\ b \cap c$ = {$\ B$}
5. $\ a \cap c$ = {$\ A$}
   

Behauptung:

$\ a \| b$

Annahme:

$a\not\| b$

1) $a\not\| b$	Annahme
2) $\ a \equiv b$ oder $\ a \cap b$ = {$\ S$}	1), Schnittpunkt von Geraden
3) $\ a \equiv b$	Widerspruch zur 1. Voraussetzung
4) $\ a \cap b$ = {$\ S$} $\Rightarrow$ $\ a \| c$ oder $\ a \equiv c$	2), Definition Schnittpunkt von Geraden, 2. und 3. Voraussetzung
5) $\ a \equiv c$	Widerspruch zur 1. und 5. Voraussetzung
6) $\ a \| c$	Widerspruch zur 5. Voraussetzung

$\Rightarrow$ Annahme verwerfen $\Rightarrow$ Behauptung stimmt.
q.e.d.--Jbo-sax 18:39, 20. Jan. 2011 (UTC)