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Version vom 29. März 2011, 17:32 Uhr
[ www.ph-heidelberg.de is not an authorized iframe site ] Pasch
Axiome von Moise/Downs
- Inzidenzaxiome:
Axiom I.0:
- Geraden und Ebenen sind Punktmengen.
Axiom I.1: (Axiom von der Geraden)
- Zu zwei beliebigen verschiedenen Punkten gibt es genau eine Gerade, die die beiden Punkte enthält.
Axiom I.2:
- Zu jeder Geraden gibt es wenigstens zwei Punkte, die dieser Geraden angehören.
Axiom I.3:
- Es gibt wenigstens 3 Punkte, die nicht kollinear sind.
Axiom I.4:
- Zu je drei nichtkollinearen Punkten gibt es genau eine Ebene, die diese drei Punkte enthält. Jede Ebene enthält (wenigstens) einen Punkt.
Axiom I.5:
- Wenn zwei Punkte einer Geraden g in einer Ebene E liegen, so gehört g zu E.
Axiom I.6:
- Wenn zwei Ebenen einen Punkt gemeinsam haben, so haben sie noch mindestens einen weiteren Punkt gemeinsam.
Axiom I.7:
- Es gibt vier Punkte, die nicht komplanar sind.
- Abstandsaxiome:
Axiom II.1: (Abstandsaxiom)
- Zu je zwei Punkten
und
gibt es eine eindeutig bestimmte nicht negative reelle Zahl
mit
.
Axiom II.2:
- Für zwei beliebige Punkte
und
gilt
.
Axiom II/3: (Dreiecksungleichung)
- Für drei beliebige Punkte
und
gilt:
- Falls
, dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt:
- Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind
,
und
kollinear.
Axiom III.1: (Axiom vom Lineal)
- Zu jeder nicht negativen reelen Zahl
gibt es auf jedem Strahl
genau einen Punkt, der zum Anfangspunkt von
den Abstand
hat.
Axiom III.2: (Das Axiom von Pasch)
- Gegeben sei ein Dreieck
. Ferner sei
eine Gerade, die durch keinen der drei Eckpunkte
geht. Wenn
eine der drei Seiten des Dreiecks
schneidet, dann schneidet
genau eine weitere Seite des Dreiecks
.
Axiom IV.1: (Winkelmaßaxiom)
- Zu jedem Winkel
gibt es genau eine reelle Zahl
zwischen 0 und 180.
- Zu jedem Winkel
Axiom IV.2: (Winkelkonstruktionsaxiom)
- Es sei
eine Gerade in der Ebene
. Zu jeder reellen Zahl
mit
gibt es in jeder der beiden durch
bestimmten Halbebenen der Ebene
genau einen Strahl
mit
- Es sei
Axiom IV.3: (Winkeladditionsaxiom)
- Wenn der Punkt
zum Inneren des Winkels
gehört , dann gilt
.
- Wenn der Punkt
Axiom IV.4: (Supplementaxiom)
- Nebenwinkel sind supplementär.
Axiom V: (Kongruenzaxiom SWS)
- Wenn für zwei Dreiecke
und
die folgenden 3 Kongruenzen
- Wenn für zwei Dreiecke
- gelten,
- dann sind die beiden Dreiecke
und
kongruent zueinander.
Euklidisches Parallelenaxiom
- Zu jedem Punkt
außerhalb einer Geraden
gibt es höchstens eine Gerade
, die durch
geht und zu
parallel ist.
- Zu jedem Punkt