Pasch

Halbebenen und das Axiom von Pasch

Halbebenen

Analogiebetrachtungen

Halbgeraden	Halbebenen

Objekt $\ G$, das in Klassen eingeteilt wird
$\ G$	$\ G$
Dimension von $\ G$
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Objekt $\ T$, das $\ G$ in Klassen einteilt
?	?
Dimension von $\ T$
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$\ T$ teilt $\ G \setminus_{\{ T \}}$ in genau zwei Klassen. Der Referenzpunkt $\ Q$ hilft, diese Klassen anzugeben:
Klasse 1: Menge aller Punkte von $\ G \setminus_{\{ T \}}$, die mit $\ Q$ auf derselben Seite von $\ T$ liegen
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Klasse 2: Menge aller Punkte von $\ G \setminus_{\{ T \}}$, die bezüglich $\ Q$ auf auf verschiedenen Seiten von $\ T$ liegen
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Definition des Begriffs der Halbebene

Alles hat zwei Seiten oder grundlegende Ideen der Beschaffenheit von Ebenen

Zu unsere Vorstellung von der Eigenschaften einer beliebigen Ebene $\Epsilon$ gehört u.a., dass jede Gerade $\ g$, die zu unserer jeweiligen Ebene $\Epsilon$ gehört, diese in zwei Hälften bzw. zwei Seiten einteilt. Zur Kennzeichnung der beiden Seiten von $\Epsilon$ bezüglich der Geraden $\ g$ verwenden wir einen Punkt $\ Q \in \Epsilon$, welcher nicht zu $\ g$ gehören sollte.
Zu der einen Hälfte von $\ \Epsilon$ bezüglich $\ g$ gehören alle die Punkte aus $\Epsilon \setminus g$, die mit $\ Q$ auf derselben Seite von $\ g$ liegen. Alle anderen Punkte aus $\Epsilon \setminus g$ gehören zur anderen Seite von $\ \Epsilon$ bezüglich $\ g$.

Offene Halbebenen

Die beiden Seiten, in die die Menge der Punkte einer Ebene $\ \Epsilon$, die nicht auf einer Geraden $\ g$ dieser Ebene liegen, durch diese Gerade $\ g$ eingeteilt wird, heißen offene Halbebenen von $\ \Epsilon$ bezüglich der Trägergeraden $\ g$. Der nicht zu $\ g$ gehörende Referenzpunkt $\ Q \in \Epsilon$ bietet uns eine Möglichkeit zur Bezeichnung der beiden offenen Halbebenen. Die offene Halbebene, zu der alle Punkte gehören, die bezüglich $\ g$ mit $\ Q$ auf derselben Seite liegen, wird mit $\ gQ^{+}$ bezeichnet, die andere offene Halbebene von $\ \Epsilon$ bezüglich $\ g$ und $\ Q$ mit $\ gQ^{-}$.

Obige Ausführungen können als informelle Definition des Begriffs offene Halbebene dienen. Hinsichtlich wirklicher mathematischer Exaktheit der Festlegung, was denn eine offene Halbene sein möge, bedarf es einer genauereren Erklärung, was denn darunter zu verstehen wäre, dass zwei Punkte $\ P$ und $\ Q$ einer Ebene $\ \Epsilon$ auf ein und derselben bzw. auf zwei verschiedenen Seiten dieser Ebene bezüglich einer Geraden $\ g$ liegen.

Definition IV.1: (offene Halbebene)

Es sei $\ \Epsilon$ eine Ebene in der die Gerade $\ g$ liegen möge. Ferner sei $\ Q$ ein Punkt der Ebene $\ \Epsilon$, der nicht zur Geraden $\ g$ gehört.
Unter den offenen Halbebenen $\ gQ^{+}$ und $\ gQ^{-}$ bezüglich der Trägergeraden $\ g$ versteht man die folgenden Teilmengen der Ebene $\ \Epsilon$ ohne die Gerade $\ g$ :

$\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S \,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}$

$\ gQ^{-}:= \{P| \exists S \,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \setminus \{ g\}$

Halbebenen

Vereinigt man die Menge der Punkte einer offenen Halbeben mit der Menge der Punkte der Trägergerade so erhält man eine Halbebene.

Definition IV.2: (Halbebene)

Es sei $\ g$ eine Gerade der Ebene $\ \Epsilon$. $\ gQ^+$ und $\ gQ^-$ seien die beiden offenen Halbebenen von $\ \Epsilon$ bezüglich $\ g$. Unter den (geschlossenen) Halbebenen von $\ \Epsilon$ bezüglich $\ g$ versteht die beiden Punktmengen, die durch die Vereinigung jeder dieser beiden offenen Halbebene von $\ \Epsilon$ bezüglich der Geraden $\ g$ mit jeweils dieser Geraden $\ g$ entstehen.

$\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \cup \{g\}$

$\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}$

Bemerkung: Für die formale Beschreibung von offenen und geschlossenen Halbebenen wird jeweils dieselbe Bezsichnung verwendet: offene Halbebene: $\ g Q^+$, (geschlossene) Halbebene: $\ g Q^+$. Derr weitere Gebrauch der Sprache kennzeichnet, ob es sich um eine offene oder um die geschlossene Halbene handeln soll. Aus Gründen der Vereinfachung sei vereinbart, dass $\ g Q^+$ bzw. $\ g Q^-$ immer die geschlossene Halbebene meint. Soll die offene Halbebene gemeint sein, so ist dieses durch den Zusatz "offen" zu kennzeichnen.

Die Repräsentantenunabhängigkeit des Referenzpunktes zweier Halbebenen

Repräsentantenunabhängigkeit?

Satz IV.1

Wenn $\ Q_2$ ein Punkt der Halbebene $\ {gQ_1}^{+}$ ist, dann gilt $\ {gQ_1}^{+} \equiv \ {gQ_2}^{+}$ und $\ {gQ_1}^{-} \equiv \ {gQ_2}^{-}$.

Beweis des Satzes IV.1

Voraussetzung: $Q_2 \in {gQ_1}^{+}$
Behauptung: ${gQ_1}^{+} \equiv {gQ_2}^{+}$ und ${gQ_1}^{-} \equiv {gQ_2}^{-}$

Üben Sie sich hier:

Das Axiom von Pasch

Was Axiomatik ist und wie man Axiome zu formulieren hat, das ist erst gegen Ende des 19. Jh. von Pasch gezeigt worden; von ihm lernten es die italienischen Geometer und lernte es Hilbert.
Hans Freudenthal, Mathematik als pädagogische Aufgabe, Stuttgart 1973, S. 14)

Axiom III.2: Das Axiom von Pasch

Gegeben sei ein Dreieck $\overline{ABC}$. Ferner sei $\ g$ eine Gerade, die durch keinen der drei Eckpunkte $\ A, B, C$ geht. Wenn $\ g$ eine der drei Seiten des Dreiecks $\overline{ABC}$ schneidet, dann schneidet $\ g$ genau eine weitere Seite des Dreiecks $\overline{ABC}$.

Konvexe Punktmengen

Definition IV.3: (konvexe Punktmenge)

Eine Menge $\ M$ von Punkten heißt konvex, wenn mit je zwei Punkten $\ A$ und $\ B$ dieser Menge die gesamte Strecke $\overline{AB}$ zu $\ M$ gehört.

Satz IV.2

Halbebenen sind konvexe Punktmengen

Beweis von Satz IV.2

trivial (Der Leser überzeuge sich davon)

Satz IV.3

Der Durchschnitt zweier konvexer Punktmengen ist konvex.

Beweis von Satz IV.3

Es seien $\ M_1$ und $\ M_2$ zwei konvexe Mengen.

zu zeigen: Der Durchschnitt der beiden Mengen $\ M_1$ und $\ M_2$ ist auch konvex.

Lösung von Aufgabe 7.5