Inzidenz im Raum WS 11/12): Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 10. Januar 2012, 10:49 Uhr

Erweiterung der Inzidenzaxiome für die Geometrie im Raum

Inzidenzaxiome der Raumgeometrie

Wir erweitern die Menge der undefinierten Grundbegriffe um die Menge aller Ebenen.

Auch Ebenen sollen Punktmengen sein, weshalb wir Axiom I/0 ergänzen:

Axiom I/0

Geraden und Ebenen sind Punktmengen.

Definition I/3: (Inzidenz Punkt Ebene)

Ein Punkt P inzidiert mit einer Ebene E, wenn P ein Element der Ebene E ist.

Definition I/4: (Inzidenz Gerade Ebene)

Eine Gerade g gehört zu einer Ebene E, wenn jeder Punkt von g zu E gehört.

Definition I/5: (Raum)

Die Menge aller Punkte P wird Raum genannt.

Zusätzlich zu den Axiomen I/1 bis I/3 werden die folgenden Forderungen erhoben:

Axiom I/4

Zu je drei nichtkollinearen Punkten gibt es genau eine Ebene, die diese drei Punkte enthält. Jede Ebene enthält (wenigstens) einen Punkt.

Axiom I/5

Wenn zwei Punkte einer Geraden g in einer Ebene E liegen, so gehört g zu E.

Axiom I/6

Wenn zwei Ebenen einen Punkt gemeinsam haben, so haben sie noch mindestens einen weiteren Punkt gemeinsam.

Definition I/6: (komplanar)

Eine Menge von Punkten heißt komplanar, wenn es eine Ebene gibt, die alle Punkte der Menge enthält. Schreibweise: komp(A, B, C, D, ...) (analog nkomp(..) für nicht komplanar)

Axiom I/7

Es gibt vier Punkte, die nicht komplanar sind.

Weitere Definitionen auf der Grundlage der räumlichen Inzidenzaxiome

Definition I/7: (komplanar für Geraden)

Zwei Geraden g und h sind komplanar, wenn es eine Ebene gibt, in der beide Geraden vollständig liegen.

Schreibweise: komp(g, h)

Definition I/8: (Geradenparallelität)

Zwei Geraden g und h sind parallel, wenn sie identisch oder komplanar und schnittpunktfrei sind.

In Zeichen: g||h.

Definition I/9: (windschief )

Zwei Geraden g und h sind windschief, wenn sie schnittpunktfrei und nicht parallel sind.

Definition I/10: (parallel für Ebenen)

Zwei Ebenen E₁ und E₂ sind parallel, wenn sie keinen Punkt gemeinsam haben.

Kann ich dann davon ausgehen, dass wenn zwei Ebenen keinen Punkt gemeinsam haben sie dann parallel sind? Steht ja so nicht da.--RicRic 23:09, 5. Dez. 2011 (CET) Kann ich jetzt davon ausgehen?--RicRic 21:30, 21. Dez. 2011 (CET) Eine gute Frage! Sorry, ich sehe sie erst jetzt.

• Du vermisst warscheinlich das "genau dann" - das muss aber nur in einem Satz stehen. Deshalb, ja, du kannst davon ausgehen. Das liegt daran, dass es sich hier um eine Definition handelt.So wie: Ein Viereck heißt Parallelogramm, wenn die gegenüberliegenden Seiten dieses Vierecks parallel sind. > Habe ich ein Viereck mit diesen Seiten, weiß ich, dass ich es Parallelogramm nennen darf.--Tutorin Anne 19:19, 23. Dez. 2011 (CET)

Folgerungen aus den Axiomen der räumlichen Inzidenzgeometrie

Satz I.5:

Zwei voneinander verschiedene Ebenen haben entweder keinen Punkt oder eine Gerade gemeinsam, auf der alle gemeinsamen Punkte beider Ebenen liegen.

Satz I.6:

Eine Ebene und eine nicht in ihr liegende Gerade haben höchstens einen Punkt gemeinsam.

Satz I.7:

Jede Ebene enthält (wenigstens) drei Punkte.

-> Kann ich diesen Satz mit Axiom I.4 beweisen? Also Axiom I.3 sagt aus es gibt drei nicht kollineare Punkte und Axiom I.4 sagt zu drei nicht kollinearen Punkten gibt es genau eine Ebene, somit enthält die Ebene drei Punkte. Hab ich es damit für jede Ebene bewiesen oder nur für eine einzige?!