Zentralprojektion, Parallelprojektion (2011/12): Unterschied zwischen den Versionen
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::Es sei <math>\ PP_{\mathcal{R}, b} </math>eine Parallelprojektion der Ebene auf die Gerade <math>\ b</math>. Jeder Punkt der Bildgeraden <math>\ b</math> ist bezüglich <math>\ PP_{\mathcal{R}, b} </math>ein Fixpunkt. | ::Es sei <math>\ PP_{\mathcal{R}, b} </math>eine Parallelprojektion der Ebene auf die Gerade <math>\ b</math>. Jeder Punkt der Bildgeraden <math>\ b</math> ist bezüglich <math>\ PP_{\mathcal{R}, b} </math>ein Fixpunkt. | ||
− | === Satz von der Mittelparallelen im Dreieck | + | === Satz II.02: Satz von der Mittelparallelen im Dreieck === |
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::Es sei <math>\overline{ABC}</math> eine Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen. Ferner seien <math>M_a</math> und <math>M_b</math> die Mittelpunkte der Seiten <math>a</math> bzw. <math>b</math> des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math>. Dann gilt: <br /> | ::Es sei <math>\overline{ABC}</math> eine Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen. Ferner seien <math>M_a</math> und <math>M_b</math> die Mittelpunkte der Seiten <math>a</math> bzw. <math>b</math> des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math>. Dann gilt: <br /> | ||
::(I) <math>M_aM_b \|| AB</math><br /> | ::(I) <math>M_aM_b \|| AB</math><br /> |
Version vom 16. Januar 2012, 11:59 Uhr
Zentralprojektionen
Wie kommt Lara Croft auf den Bildschirm?
Begriff der Zentralprojektion
Definition II.01: (Zentralprojektion des Raumes auf eine Ebene)
- Es sei
eine Ebene des Raumes
und
ein Punkt aus
der nicht zu
gehört.
Die Zentralprojektionist eine Abbildung von
auf die Ebene
mit:
- Die Ebene
heißt Bildebene bei der Zentralprojektion
und der Punkt
Zentralpunkt der
.
- Es sei
Definition II.02: (Zentralprojektion der Ebene auf eine Gerade)
- Versuchen Sie es selbst.
- Versuchen Sie es selbst.
Definition II.03: (Richtung)
- Eine Richtung ist eine Äquivalenzklasse nach der Relation "parallel" auf der Menge aller Geraden.
Definition II.04: (Parallelprojektion des Raumes auf eine Ebene)
- Es sei
eine Ebene des Raumes
und
eine Richtung mit
.
- Es sei
- Unter der Parallelprojektion des Raumes
auf die Bildebene
mit der Projektionsrichtung
versteht man die Abbildung von
auf
, die jedem Punkt
derart auf sein Bild
abbildet, dass gilt:
- Unter der Parallelprojektion des Raumes
mit
Definition II.05: (Parallelprojektion der Ebene auf eine Gerade)
- Es sei
eine Gerade der Ebene
und
eine Richtung in
mit
.
- Es sei
- Unter der Parallelprojektion der Ebene
auf die Bildgerade
versteht man die Abbildung, die jeden Punkt
derart auf sein Bild
abbildet, dass gilt:
- Unter der Parallelprojektion der Ebene
mit
.
- In Zeichen:
- In Zeichen:
Satz II.01: (Fixpunkte bei Parallelprojektionen)
- Es sei
eine Parallelprojektion der Ebene auf die Gerade
. Jeder Punkt der Bildgeraden
ist bezüglich
ein Fixpunkt.
- Es sei
Satz II.02: Satz von der Mittelparallelen im Dreieck
- Es sei
eine Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen. Ferner seien
und
die Mittelpunkte der Seiten
bzw.
des Dreiecks
. Dann gilt:
- (I)
- (II)
- Es sei