Lösung von Aufgabe 4.5P (SoSe 12): Unterschied zwischen den Versionen

Aus Geometrie-Wiki
Wechseln zu: Navigation, Suche
Zeile 1: Zeile 1:
 
Es seien eine Ebene E (aufgefasst als Punktmenge) und eine Gerade g in E gegeben. Wir betrachten folgende Relation <math>\ \Theta</math> (<math>\ \Theta</math> ist ein willkürlich gewähltes Symbol, um die Relation nicht mit dem unauffälligen Buchstaben R bezeichnen zu müssen) in der Menge <math>\ E \setminus g</math> (also alle Punkte der Ebene E, die nicht der Geraden g angehören): Für beliebige <math>\ A,B \in E \setminus g</math> gilt: <math>\ A  \Theta B: \Leftrightarrow \overline{AB}\cap g = \lbrace \rbrace</math>.<br />
 
Es seien eine Ebene E (aufgefasst als Punktmenge) und eine Gerade g in E gegeben. Wir betrachten folgende Relation <math>\ \Theta</math> (<math>\ \Theta</math> ist ein willkürlich gewähltes Symbol, um die Relation nicht mit dem unauffälligen Buchstaben R bezeichnen zu müssen) in der Menge <math>\ E \setminus g</math> (also alle Punkte der Ebene E, die nicht der Geraden g angehören): Für beliebige <math>\ A,B \in E \setminus g</math> gilt: <math>\ A  \Theta B: \Leftrightarrow \overline{AB}\cap g = \lbrace \rbrace</math>.<br />
a) Beschreiben Sie die Relation <math>\ \Theta</math> verbal und veranschaulichen Sie diese Relation.<br />
+
a) Beschreiben Sie die Relation <math>\ \Theta</math> verbal und veranschaulichen Sie diese Relation.<br /><br />
Die Strecke AB geschnitten mit g ergibt eine leere Menge. --[[Benutzer:Malilglowka|Malilglowka]] 17:48, 10. Mai 2012 (CEST)
+
Die Strecke AB geschnitten mit g ergibt eine leere Menge. --[[Benutzer:Malilglowka|Malilglowka]] 17:48, 10. Mai 2012 (CEST)<br />
 +
 
 +
veranschaulicht: da die strecke zwischen a und b die gerade g nicht schneiden darf, müssen beide punkte auf einer seite der durch die gerade g geteilten ebene e liegen<br />
 +
noch mehr veranschaulicht: die strecke ab darf keine "brücke" über die lücke (gerade g) der ebene bilden--[[Benutzer:Studentin|Studentin]] 01:02, 11. Mai 2012 (CEST)  
  
 
b) Begründen Sie anschaulich, dass <math>\ \Theta</math> eine Äquivalenzrelation ist. Formulieren Sie dazu die Eigenschaften von Äquivalenzrelationen konkret auf die Relation <math>\ \Theta</math> bezogen.<br />
 
b) Begründen Sie anschaulich, dass <math>\ \Theta</math> eine Äquivalenzrelation ist. Formulieren Sie dazu die Eigenschaften von Äquivalenzrelationen konkret auf die Relation <math>\ \Theta</math> bezogen.<br />

Version vom 11. Mai 2012, 00:02 Uhr

Es seien eine Ebene E (aufgefasst als Punktmenge) und eine Gerade g in E gegeben. Wir betrachten folgende Relation \ \Theta (\ \Theta ist ein willkürlich gewähltes Symbol, um die Relation nicht mit dem unauffälligen Buchstaben R bezeichnen zu müssen) in der Menge \ E \setminus g (also alle Punkte der Ebene E, die nicht der Geraden g angehören): Für beliebige \ A,B \in E \setminus g gilt: \ A  \Theta B: \Leftrightarrow \overline{AB}\cap g = \lbrace \rbrace.
a) Beschreiben Sie die Relation \ \Theta verbal und veranschaulichen Sie diese Relation.

Die Strecke AB geschnitten mit g ergibt eine leere Menge. --Malilglowka 17:48, 10. Mai 2012 (CEST)

veranschaulicht: da die strecke zwischen a und b die gerade g nicht schneiden darf, müssen beide punkte auf einer seite der durch die gerade g geteilten ebene e liegen
noch mehr veranschaulicht: die strecke ab darf keine "brücke" über die lücke (gerade g) der ebene bilden--Studentin 01:02, 11. Mai 2012 (CEST)

b) Begründen Sie anschaulich, dass \ \Theta eine Äquivalenzrelation ist. Formulieren Sie dazu die Eigenschaften von Äquivalenzrelationen konkret auf die Relation \ \Theta bezogen.
Hinweis: Sie können die Transitivität noch nicht exakt beweisen; in dieser Aufgabe geht es zunächst darum, die Relationseigenschaften als geometrische Eigenschaften zu interpretieren und zu verstehen.