Lösung von Aufgabe 5.1P (SoSe 12): Unterschied zwischen den Versionen

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Es seien ''a'', ''b'' und ''c'' drei paarweise verschiedene Geraden in ein und derselben Ebene.<br />  
 
Es seien ''a'', ''b'' und ''c'' drei paarweise verschiedene Geraden in ein und derselben Ebene.<br />  
 
a) Beweisen Sie folgende Implikation durch einen Widerspruchsbeweis: <math>\ a \|| b \wedge b \|| c \Rightarrow \ a \|| c</math>  . <br />
 
a) Beweisen Sie folgende Implikation durch einen Widerspruchsbeweis: <math>\ a \|| b \wedge b \|| c \Rightarrow \ a \|| c</math>  . <br />
b) Welche Eigenschaft der Relation <math>\|| </math> auf der Menge aller Geraden einer Ebene haben Sie hiermit gezeigt?<br />
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b) Welche Eigenschaft der Relation <math>\|| </math> auf der Menge aller Geraden einer Ebene haben Sie hiermit gezeigt?<br /><br />
 
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a) Beweisen Sie folgende Implikation durch einen Widerspruchsbeweis: <math>\ a \|| b \wedge b \|| c \Rightarrow \ a \|| c</math>  . <br />
 
<math>\ a \|| b \wedge b \|| c \Rightarrow \ a \|| c</math>  . <br />
 
<math>\ a \|| b \wedge b \|| c \Rightarrow \ a \|| c</math>  . <br />
 
für den widerspruchsbeweis nehme ich nun <br />
 
für den widerspruchsbeweis nehme ich nun <br />
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es ist gegeben, dass <math>\ a \|| b \wedge b \|| c </math>, beide (a und c) müssen also zu b parallel sein.<br />
 
es ist gegeben, dass <math>\ a \|| b \wedge b \|| c </math>, beide (a und c) müssen also zu b parallel sein.<br />
 
da der schnittpunkt auf beiden liegt und das parallelaxiom gilt, gibt es durch dieses schnittpunkt nur eine (nicht zwei(a und c)) parallele geraden. a und c müssen also identisch sein.
 
da der schnittpunkt auf beiden liegt und das parallelaxiom gilt, gibt es durch dieses schnittpunkt nur eine (nicht zwei(a und c)) parallele geraden. a und c müssen also identisch sein.
--[[Benutzer:Studentin|Studentin]] 09:35, 11. Mai 2012 (CEST)
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b) Welche Eigenschaft der Relation <math>\|| </math> auf der Menge aller Geraden einer Ebene haben Sie hiermit gezeigt?<br />
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die relation <math>\|| </math> ist transitiv.--[[Benutzer:Studentin|Studentin]] 09:39, 11. Mai 2012 (CEST)
 
[[Kategorie:Einführung_P]]
 
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Version vom 11. Mai 2012, 08:39 Uhr

Das Parallelenaxiom lautet wie folgt:
Zu jeder Geraden g und zu jedem nicht auf g liegenden Punkt A gibt es höchstens eine Gerade, die durch A verläuft und zu g parallel ist.
Nutzen Sie dieses Axiom, beim Lösen der folgenden Aufgabe:
Es seien a, b und c drei paarweise verschiedene Geraden in ein und derselben Ebene.
a) Beweisen Sie folgende Implikation durch einen Widerspruchsbeweis: \ a \|| b \wedge b \|| c \Rightarrow \ a \|| c .
b) Welche Eigenschaft der Relation \|| auf der Menge aller Geraden einer Ebene haben Sie hiermit gezeigt?

a) Beweisen Sie folgende Implikation durch einen Widerspruchsbeweis: \ a \|| b \wedge b \|| c \Rightarrow \ a \|| c .
\ a \|| b \wedge b \|| c \Rightarrow \ a \|| c .
für den widerspruchsbeweis nehme ich nun
1. die behauptung:\ a \|| b \wedge b \|| c
und
2. die annahme (gegenteil der behauptung): a\not \parallel c,
um sie zu einem widerspruch zu führen.

Parallele mit schnittpunkt 001.jpg
wenn a und c nicht parallel sind, haben sie einen schnittpunkt.
es ist gegeben, dass \ a \|| b \wedge b \|| c , beide (a und c) müssen also zu b parallel sein.
da der schnittpunkt auf beiden liegt und das parallelaxiom gilt, gibt es durch dieses schnittpunkt nur eine (nicht zwei(a und c)) parallele geraden. a und c müssen also identisch sein. --Studentin 09:35, 11. Mai 2012 (CEST)

b) Welche Eigenschaft der Relation \|| auf der Menge aller Geraden einer Ebene haben Sie hiermit gezeigt?
die relation \|| ist transitiv.--Studentin 09:39, 11. Mai 2012 (CEST)