Lösung von Aufgabe 4.3 S (SoSe 12): Unterschied zwischen den Versionen
Aus Geometrie-Wiki
(→Aufgabe 4.3) |
(→Aufgabe 4.3) |
||
Zeile 16: | Zeile 16: | ||
'''Lösungsvorschlag 1:''' | '''Lösungsvorschlag 1:''' | ||
− | 1 | + | '''1)''' „Wenn <math>A</math>,<math>B</math> und <math>C</math> nicht kollinear sind, dann sind sie paarweise verschieden.“ |
− | 2 | + | '''2)'''<br />Voraussetzung: nkoll (A,B,C)<br />Behauptung: A,B und C sind paarweise verschieden<br />Annahme: 2 Punkte sind nicht paarweise verschieden (Widerspruch zur Behauptung..) |
{| class="wikitable sortable" | {| class="wikitable sortable" | ||
Zeile 29: | Zeile 29: | ||
| (3) || <math>\exists g:g=AC</math> || (2), Axiom I/1 | | (3) || <math>\exists g:g=AC</math> || (2), Axiom I/1 | ||
|- | |- | ||
− | | (4) || <math>\operatorname{koll}(A, B, C)</math> || (3), Def. kollinear | + | | (4) || <math>\operatorname{koll}(A, B, C)</math> || (2), (3), Def. kollinear |
|- | |- | ||
| (5) || Widerspruch zur Voraussetzung || (4), (1) | | (5) || Widerspruch zur Voraussetzung || (4), (1) | ||
Zeile 38: | Zeile 38: | ||
− | 3 | + | '''3)''' „Wenn <math>A</math>,<math>B</math> und <math>C</math> nicht paarweise verschieden sind, dann sind sie kollinear.“ |
− | + | '''4)'''<br />Voraussetzung: mindestens 2 der 3 Punkte (A,B,C) sind identisch<br />Behauptung: koll (A,B,C)<br /> | |
+ | |||
+ | {| class="wikitable sortable" | ||
+ | !!!Beweisschritt!!Begründung | ||
+ | |- | ||
+ | | (1) || oBdA: <math>A=B ; A \neq C </math> || Voraussetzung | ||
+ | |- | ||
+ | | (2) || <math>\exists g:g=AC</math> || (1), Axiom I/1 | ||
+ | |- | ||
+ | | (3) || <math>\operatorname{koll}(A, B, C)</math> || (1), (2), Def. kollinear | ||
+ | |- | ||
+ | |} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''5)''' „Wenn <math>A</math>,<math>B</math> und <math>C</math> paarweise verschieden sind, dann sind sie nicht kollinear.“ | ||
+ | |||
+ | '''6)''' Die Umkehrung von Satz I gilt NICHT!!! (siehe Gegenbeispiel) | ||
+ | |||
+ | <ggb_applet width="531" height="441" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /> | ||
+ | |||
+ | --[[Benutzer:Nummero6|Tchu Tcha Tcha]] 19:12, 13. Mai 2012 (CEST) |
Version vom 13. Mai 2012, 19:12 Uhr
Aufgabe 4.3
Satz I: Je drei nicht kollineare Punkte sind paarweise verschieden.
- Wir formulieren Satz I neu und beginnen mit „Es seien , und drei Punkte.“ Ergänzen Sie: „Wenn , und … , dann … .“
- Beweisen Sie Satz I indirekt mit Widerspruch.
- Bilden Sie die Kontraposition von Satz I.
- Beweisen Sie auch die Kontraposition von Satz I.
- Formulieren Sie die Umkehrung von Satz I.
- Gilt auch die Umkehrung von Satz I?
Lösungsvorschlag 1:
1) „Wenn , und nicht kollinear sind, dann sind sie paarweise verschieden.“
2)
Voraussetzung: nkoll (A,B,C)
Behauptung: A,B und C sind paarweise verschieden
Annahme: 2 Punkte sind nicht paarweise verschieden (Widerspruch zur Behauptung..)
Beweisschritt | Begründung | |
---|---|---|
(1) | Voraussetzung | |
(2) | oBdA: ; | Annahme |
(3) | (2), Axiom I/1 | |
(4) | (2), (3), Def. kollinear | |
(5) | Widerspruch zur Voraussetzung | (4), (1) |
(6) | Behauptung stimmt | (5) |
3) „Wenn , und nicht paarweise verschieden sind, dann sind sie kollinear.“
4)
Voraussetzung: mindestens 2 der 3 Punkte (A,B,C) sind identisch
Behauptung: koll (A,B,C)
Beweisschritt | Begründung | |
---|---|---|
(1) | oBdA: | Voraussetzung |
(2) | (1), Axiom I/1 | |
(3) | (1), (2), Def. kollinear |
5) „Wenn , und paarweise verschieden sind, dann sind sie nicht kollinear.“
6) Die Umkehrung von Satz I gilt NICHT!!! (siehe Gegenbeispiel)
--Tchu Tcha Tcha 19:12, 13. Mai 2012 (CEST)