Streckenantragen oder das Axiom vom Lineal: Unterschied zwischen den Versionen
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Wir sind überzeugt davon, dass unsere Konstruktion entsprechend des vorangegangenen Abschnitts immer funktioniert und der so gewonnene zweite Endpunkt unserer konstruierten Strecke eindeutig bestimmt ist. Die Idee des Streckenantragens müssen wir jetzt jedoch axiomatisch fordern bzw. begründen. | Wir sind überzeugt davon, dass unsere Konstruktion entsprechend des vorangegangenen Abschnitts immer funktioniert und der so gewonnene zweite Endpunkt unserer konstruierten Strecke eindeutig bestimmt ist. Die Idee des Streckenantragens müssen wir jetzt jedoch axiomatisch fordern bzw. begründen. | ||
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Version vom 31. Mai 2010, 15:43 Uhr
Inhaltsverzeichnis |
Der Mittelpunkt einer Strecke
Wir wissen nun, dass eine offene Strecke die Menge aller Punkte ist, die zwischen
und
liegen. Vereinigt man diese Menge mit der Menge der beiden Endpunkte
und
, so hat man die gesamte Strecke
. Zu unseren grundlegenden Vorstellungen von Strecken gehört, dass jede Strecke
einen Mittelpunkt
hat.
wäre der Punkt auf
, der sowohl zu
als auch zu
denselben Abstand
hat.
Definition III.1: (Mittelpunkt einer Strecke)
- Wenn ein Punkt
der Strecke
...
- Wenn ein Punkt
Was das Definieren angeht, werden wir langsam vorsichtig. Definieren dürfen wir alles was wir wollen. Wir müssen uns dann allerdings die Frage nach Sinn und Korrektheit unserer Definition gefallen lassen. Von beidem dürften wir bezüglich Definition III.1 überzeugt sein, weshalb wir den folgenden Satz formulieren:
Satz III.1: (Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunkte einer Strecke)
- Jede Strecke hat genau einen Mittelpunkt.
Beweis der Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunktes einer Strecke
- Die Materie erscheint einsichtig und einfach. Übungsaufgabe?? Nichts ist einfach. Mit den bisher bereitgestellten axiomatischen Grundlagen unserer Geometrie wird es Ihnen nicht gelingen, etwa zu zeigen, dass jede Strecke einen Mittelpunkt besitzt.
Beweis dafür, dass momentan der Beweis von Satz III.1 nicht geführt werden kann
Der Knackpunkt bezüglich des Nachweises der Existenz und Eindeutigkeit des Streckenmittelpunktes besteht darin, dass unsere derzeitige Theorie noch nicht genügend Punkte zu Verfügung stellt. Momentan muss unser Raum nicht mehr als 4 Punkte enthalten. Nach Axiom I.7 sind diese vier Punkte nicht komplanar, woraus folgt, dass je drei von ihnen nicht auf ein und derselben Geraden liegen. Damit könnte eine durch zwei verschiedene dieser vier Punkte eindeutig bestimmte Strecke gar keinen Mittelpunkt haben, denn dieser müsste entsprechend Definition III.1 bezüglich unserer zwei Endpunkte auf derselben Geraden liegen.
Es wird Zeit, die Anzahl Punkte unserer Theorie radikal zu erhöhen. Konzentrieren wir uns diesbezüglich zunächst auf einen Strahl . Nch unserer Vorstellung von Halbgeraden können wir nicht je zwei Punkten von
genau eine nichtnegative reelle Zahl (den Abstand der beiden Punkte) zuordnen. Nach unseren Vorstellungen etwa von Zahlenstrahl gibt es auch zu jeder nicht negativen reellen Zahl d genau einen Punkt
auf
, der zu
gerade den Abstand
hat. Bei Konstruktionsaufgaben finden wir diese Idee im Zusammenhang mit dem Streckenantragen wieder.
Streckenantragen
Das Axiom vom Lineal
Wir sind überzeugt davon, dass unsere Konstruktion entsprechend des vorangegangenen Abschnitts immer funktioniert und der so gewonnene zweite Endpunkt unserer konstruierten Strecke eindeutig bestimmt ist. Die Idee des Streckenantragens müssen wir jetzt jedoch axiomatisch fordern bzw. begründen.
Axiom III.1: (Axiom vom Lineal)
- Zu jeder nicht negativen reelen Zahl
und gibt es auf jedem Strahl
genau einen Punkt, der zum Anfangspunkt von
den Abstand
hat.
- Zu jeder nicht negativen reelen Zahl