Streckenantragen oder das Axiom vom Lineal

Der Mittelpunkt einer Strecke

Wir wissen nun, dass eine offene Strecke $\overline{AB}$ die Menge aller Punkte ist, die zwischen $\ A$ und $\ B$ liegen. Vereinigt man diese Menge mit der Menge der beiden Endpunkte $\ A$ und $\ B$, so hat man die gesamte Strecke $\overline{AB}$. Zu unseren grundlegenden Vorstellungen von Strecken gehört, dass jede Strecke $\overline{AB}$ einen Mittelpunkt $\ M$ hat. $\ M$ wäre der Punkt auf $\overline{AB}$, der sowohl zu $\ A$ als auch zu $\ B$ denselben Abstand $\frac{| \overline{AB} |}{2}$ hat.

Definition III.1: (Mittelpunkt einer Strecke)

Wenn ein Punkt $\ M$ der Strecke $\overline{AB}$ zu den Endpunkten $\ A$ und $\ B$ jeweils den selben Abstand hat, dann ist er der Mittelpunkt der Strecke $\overline{AB}$.

Was das Definieren angeht, werden wir langsam vorsichtig. Definieren dürfen wir alles was wir wollen. Wir müssen uns dann allerdings die Frage nach Sinn und Korrektheit unserer Definition gefallen lassen. Von beidem dürften wir bezüglich Definition III.1 überzeugt sein, weshalb wir den folgenden Satz formulieren:

Satz III.1: (Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunkte einer Strecke)

Jede Strecke hat genau einen Mittelpunkt.

Beweis der Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunktes einer Strecke

Die Materie erscheint einsichtig und einfach. Übungsaufgabe?? Nichts ist einfach. Mit den bisher bereitgestellten axiomatischen Grundlagen unserer Geometrie wird es Ihnen nicht gelingen, etwa zu zeigen, dass jede Strecke einen Mittelpunkt besitzt.

Beweis dafür, dass momentan der Beweis von Satz III.1 nicht geführt werden kann

Der Knackpunkt bezüglich des Nachweises der Existenz und Eindeutigkeit des Streckenmittelpunktes besteht darin, dass unsere derzeitige Theorie noch nicht genügend Punkte zu Verfügung stellt. Momentan muss unser Raum nicht mehr als 4 Punkte enthalten. Nach Axiom I.7 sind diese vier Punkte nicht komplanar, woraus folgt, dass je drei von ihnen nicht auf ein und derselben Geraden liegen. Damit könnte eine durch zwei verschiedene dieser vier Punkte eindeutig bestimmte Strecke gar keinen Mittelpunkt haben, denn dieser müsste entsprechend Definition III.1 bezüglich unserer zwei Endpunkte auf derselben Geraden liegen.

Es wird Zeit, die Anzahl Punkte unserer Theorie radikal zu erhöhen. Konzentrieren wir uns diesbezüglich zunächst auf einen Strahl $\ AB^{+}$. Nach unserer Vorstellung von Halbgeraden können wir nicht je zwei Punkten von $\ AB^{+}$ genau eine nichtnegative reelle Zahl (den Abstand der beiden Punkte) zuordnen. Nach unseren Vorstellungen etwa von Zahlenstrahl gibt es auch zu jeder nicht negativen reellen Zahl d genau einen Punkt $\ D$ auf $\ AB^{+}$, der zu $\ A$ gerade den Abstand $\ d$ hat. Bei Konstruktionsaufgaben finden wir diese Idee im Zusammenhang mit dem Streckenantragen wieder.

Streckenantragen

Das Axiom vom Lineal

Wir sind überzeugt davon, dass unsere Konstruktion entsprechend des vorangegangenen Abschnitts immer funktioniert und der so gewonnene zweite Endpunkt unserer konstruierten Strecke eindeutig bestimmt ist. Die Idee des Streckenantragens müssen wir jetzt jedoch axiomatisch fordern bzw. begründen.

Axiom III.1: (Axiom vom Lineal)

Zu jeder nicht negativen reelen Zahl $\ d$ gibt es auf jedem Strahl $\ p$ genau einen Punkt, der zum Anfangspunkt von $\ p$ den Abstand $\ d$ hat.

Zum Sprachgebrauch. Wir werden in kommenden Beweisen einzelne Beweisschritte häufig mit dem Axiom vom Lineal begründen müssen. Wir werden in einem solchen Fall ggf. auch mit der Existenz und Eindeutigkeit des Streckenantragens begründen. Letzteres ist schließlich nichts anderes als der Inhalt des Axioms vom Lineal.

Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunktes einer Strecke

Nachdem das Axiom vom Lineal formuliert wurde, wird es uns gelingen Satz III.1 zu beweisen.

Jetzt wirklich: Beweis von Satz III.1

noch einmal der Satz:

Jede Strecke hat einen und nur einen Mittelpunkt.

Es sind also zwei Beweise zu führen:

1. Existenzbeweis: Jede Strecke hat einen Mittelpunkt.
2. Eindeutigkeitsbeweis: Jede Strecke hat nicht mehr als einen Mittelpunkt.
   (Highlanderbeweis: Es kann nur einen geben.)

Der Existenzbeweis

Es sei $\overline{AB}$ eine Strecke

Behauptung:

Es gibt einen Punkt auf der Strecke $\overline{AB}$ der zu den Endpunkten $\ A$ und $\ B$ jeweils ein und denselben Abstand hat.

Die Behauptung noch mal: $\exists M \in \overline{AB} : \ \left| AM \right| = \left| MB \right|$ .

Der Beweis:

Jede Strecke $\overline{AB}$ hat einen Mittelpunkt.

	Beweisschritt	Begründung
(I)	$\exists d \in \mathbb{R}^{+} \ : \ d = \left| AB \right|$	Axiom II.1 (Abstand vom Abstand)
(II)	$\exists d^{*} \in \mathbb{R}^{+} \ : \ d^{*} = \frac{d}{2}$	Rechnen im Zahlenraum der reellen Zahlen $\ R$
(III)	$\exists M \in AB^{+} \ : \ \left| AM \right| = d^{*}$	Axiom vom Lineal
(IV)	$\neg \operatorname{Zw} \left( A, B, M \right)$	INDIREKTER BEWEIS (Beweis durch Widerspruch): somit gilt die Annahme: $\operatorname{Zw} \left( A, B, M \right)$ $\left| AB \right|+ \left| BM \right| = \left| AM \right|$ Da $\left| AB \right| = d$ und $\left| BM \right| = x$ kann $\left| AM \right|$niemals $\frac{d}{2}$sein, da $d>\frac{d}{2}$, also $\left| AB \right|>\left| AM \right|$, ist und somit ein Widerspruch vorliegt. Es stimmt also, dass $\neg \operatorname{Zw} \left( A, B, M \right)$
(V)	$\operatorname{Zw} \left( A, M, B \right)$ und damit $M \in \overline{AB}$	Wegen IV und der Definition der Zwischenrelation
(VI)	$\ \left| AM \right| + \left| MB \right| = \frac{\left| AB \right|}{2} + \left| MB \right| = \left| AB \right|$	Definition der Zwischenrelation $\ \left| AM \right| + \left| MB \right| = \left| AB \right|$ Wegen II und III ($\ \left| AM \right|=d^{*}=\frac{d}{2}=\frac{\left| AB \right|}{2}$)
(VII)	$\left| MB \right| = \frac{\left| AB \right|}{2}$	Wegen VI, Rechnen im Zahlenraum der reellen Zahlen $\ R$
(VIII)	$\left| AM \right| = \left| MB \right|$	Wegen VI und VII, Rechnen im Zahlenraum der reellen Zahlen $\ R$
(IX)	$\ M$ ist der Mittelpunkt von $\overline{AB}$	Nach Definition Mittelpunkt

Der Eindeutigkeitsbeweis

Übungsaufgabe

Hinweis: Nehmen Sie an, eine Strecke $\overline{AB}$ hätte zwei Mittelpunkte $\ M_1$ und $\ M_2$.

Lösung_von_Aufgabe_7.10