Aktuelle Version vom 22. Mai 2012, 22:09 Uhr

Zentrische Streckungen

Begriff der zentrischen Streckung

Definition II.07: (zentrische Streckung)

Es sei ein beliebig aber fest gewählter Punkt der Ebene . Ferner sei Fehler beim Parsen(Syntaxfehler): k \in \mathbb{R} \setminus\left{ 0 \right}

. Unter der zentrischen Streckung mit dem Streckzentrum und dem Streckfaktor versteht man eine Abbildung von auf sich mit .

Experimentieren Sie mit verschiedenen Werten von und verschiedenen Positionen von (Strg + f löscht die Spur):

Eigenschaften zentrischer Streckungen

Satz II.08

Eine zentrische Streckung ist genau dann die Identität, wenn gilt.

Beweis von Satz II.08

trivial, entsprechend der Definition II.07

Satz II.09

Es seien drei Punkte und deren Bilder bei der zentrischen Streckung . Wenn , dann .

Beweis von Satz II.09

Übungsaufgabe

Hinweise:

(I)

(II)

Den Rest erledigen die Strahlensätze.

Satz II.10: Korollar aus Satz II.09

Jede zentrische Streckung ist geradentreu.

Satz II.11

Für jede zentrische Streckung gilt: Jede Gerade, die durch durch geht, ist ein Fixgerade bei .

Beweis II.11

trivial (Der Leser überzeuge sich davon.)

Satz II.12

Es sei eine Gerade und ihr Bild bei . Es gilt: .

Beweis von Satz II.12

Fall 1

Nach Satz II.11 gilt und damit .

Fall 2

Annahme:

Fall 2.1:

trivial,

Fall 2.2: Fehler beim Parsen(Syntaxfehler): \left{S\right}=g \cap g'

Übungsaufgabe

Seien P und Q zwei feste aber beliebige Punkte auf g. Nach Definition und Voraussetzung gilt nun für die Bilder von P und Q folgendes:
 und .

Nun gilt: .

Es gilt nach der Umkehrung des ersten Strahlensatzes (I. STS), dass g zur Menge aller Bildpunkte von g bei einer zentrischen
Streckung (also unserer Geraden g') parallel ist.
q. e. d.

--Flo60 23:05, 22. Mai 2012 (CEST)