Verkettung von drei Geradenspiegelungen SoSe 12: Unterschied zwischen den Versionen
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:Die Verkettung von drei Geradenspiegelungen <math>S_{a}\cir S_{b} \cir S_{c}</math>, an drei Geraden ''a'', ''b'' und ''c'' die sich in einem Punkt ''S'' schneiden (kopunktal), ist eine Geradenspiegelung an einer Achse ''d'', die durch den Punkt ''S'' verläuft mit <math>\left|\angle ab\right| = \left|\angle dc\right| </math>.<br /> | :Die Verkettung von drei Geradenspiegelungen <math>S_{a}\cir S_{b} \cir S_{c}</math>, an drei Geraden ''a'', ''b'' und ''c'' die sich in einem Punkt ''S'' schneiden (kopunktal), ist eine Geradenspiegelung an einer Achse ''d'', die durch den Punkt ''S'' verläuft mit <math>\left|\angle ab\right| = \left|\angle dc\right| </math>.<br /> | ||
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| + | Eine Schub- oder Gleitspiegelung ist eine Abbildung, die bei der Verkettung dreier Geradenspiegelungen <math>S_{a}\cir S_{b} \cir S_{c}</math> entsteht, wenn die zwei Geraden ''a'' und ''b'' parallel zueinander und die dritte Gerade ''c'' senkrecht dazu steht. | ||
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| + | Die Verkettung dreier Geradenspiegelungen, deren Achsen nicht alle parallel zueinander oder kopunktal sind, ist stets eine Schubspiegelung.<br /> | ||
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Version vom 30. Juni 2012, 19:26 Uhr
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Verkettung von drei Geradenspiegelungen
Aufgabe: Welche prinzipiellen Möglichkeiten bezüglich der Lage der Achsen gibt es bei der Verkettung von drei Geradenspiegelungen? (gerne auch als Bild).
Satz X.1:
- Die Verkettung von drei Geradenspiegelungen Fehler beim Parsen(Unbekannte Funktion „\cir“): S_{a}\cir S_{b} \cir S_{c}
an zueinander parallelen Geraden a, b und c ist eine Geradenspiegelung an einer Geraden d mitund
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Beweis:
Satz X.2:
- Die Verkettung von drei Geradenspiegelungen Fehler beim Parsen(Unbekannte Funktion „\cir“): S_{a}\cir S_{b} \cir S_{c}
, an drei Geraden a, b und c die sich in einem Punkt S schneiden (kopunktal), ist eine Geradenspiegelung an einer Achse d, die durch den Punkt S verläuft mit 
.
Beweis:
Definition X.1 (Schub- oder Gleitspiegelung)
Eine Schub- oder Gleitspiegelung ist eine Abbildung, die bei der Verkettung dreier Geradenspiegelungen Fehler beim Parsen(Unbekannte Funktion „\cir“): S_{a}\cir S_{b} \cir S_{c}
entsteht, wenn die zwei Geraden a und b parallel zueinander und die dritte Gerade c senkrecht dazu steht.
Satz X.3:
Die Verkettung dreier Geradenspiegelungen, deren Achsen nicht alle parallel zueinander oder kopunktal sind, ist stets eine Schubspiegelung.
Beweis:
