Halbebenen oder das Axiom von Pasch: Unterschied zwischen den Versionen
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:::''Was Axiomatik ist und wie man Axiome zu formulieren hat, das ist erst gegen Ende des 19. Jh. von Pasch gezeigt worden; von ihm lernten es die italienischen Geometer und lernte es Hilbert.<br />[http://de.wikipedia.org/wiki/Hans_Freudenthal Hans Freudenthal], Mathematik als pädagogische Aufgabe, Stuttgart 1973, S. 14)'' | :::''Was Axiomatik ist und wie man Axiome zu formulieren hat, das ist erst gegen Ende des 19. Jh. von Pasch gezeigt worden; von ihm lernten es die italienischen Geometer und lernte es Hilbert.<br />[http://de.wikipedia.org/wiki/Hans_Freudenthal Hans Freudenthal], Mathematik als pädagogische Aufgabe, Stuttgart 1973, S. 14)'' | ||
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= Konvexe Punktmengen = | = Konvexe Punktmengen = | ||
=====Definition IV.3: (konvexe Punktmenge)===== | =====Definition IV.3: (konvexe Punktmenge)===== | ||
::Eine Menge <math>\ M</math> von Punkten heißt konvex, wenn mit je zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> dieser Menge die gesamte Strecke <math>\overline{AB}</math> zu <math>\ M</math> gehört. | ::Eine Menge <math>\ M</math> von Punkten heißt konvex, wenn mit je zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> dieser Menge die gesamte Strecke <math>\overline{AB}</math> zu <math>\ M</math> gehört. |
Version vom 5. Juni 2010, 05:04 Uhr
Inhaltsverzeichnis |
Halbebenen und das Axiom von Pasch
Halbebenen
Analogiebetrachtungen
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ist eine ... | ist eine ... |
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Dimension von | Dimension von |
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ist ... | ist ... |
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hat die Dimension ... | hat die Dimension ... |
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Definition des Begriffs der Halbebene
Alles hat zwei Seiten oder grundlegende Ideen der Beschaffenheit von Ebenen
Offene Halbebenen
Die beiden Seiten, in die die Menge der Punkte einer Ebene , die nicht auf einer Geraden dieser Ebene liegen, durch diese Gerade eingeteilt wird, heißen offene Halbebenen von bezüglich der Trägergeraden . Der nicht zu gehörende Referenzpunkt bietet uns eine Möglichkeit zur Bezeichnung der beiden offenen Halbebenen. Die offene Halbebene, zu der alle Punkte gehören, die bezüglich mit auf derselben Seite liegen, wird mit bezeichnet, die andere offene Halbebene von bezüglich und mit .
Obige Ausführungen können als informelle Definition des Begriffs offene Halbebene dienen. Hinsichtlich wirklicher mathematischer Exaktheit der Festlegung, was denn eine offene Halbene sein möge, bedarf es einer genauereren Erklärung, was es denn darunter zu verstehen wäre, dass zwei Punkte und einer Ebene auf ein und derselben bzw. auf zwei verschiedenen Seiten dieser Ebene bezüglich einer Geraden liegen.
Definition IV.1: (offene Halbebene)
- Es sei eine Ebene in der die Gerade liegen möge. Ferner sei ein Punkt der Ebene , der nicht zur Geraden gehört.
Unter den offenen Halbebenen und bezüglich der Trägergeraden versteht man die folgenden Punktmengen:
- Es sei eine Ebene in der die Gerade liegen möge. Ferner sei ein Punkt der Ebene , der nicht zur Geraden gehört.
Halbebenen
Vereinigt man die Menge der Punkte einer offenen Halbeben mit der Menge der Punkte der Trägergerade so erhält man eine Halbebene.
Definition IV.2: (Halbebene)
Die Repräsentantenunabhängigkeit des Referenzpunktes zweier Halbebenen
Repräsentantenunabhängigkeit?
Satz IV.1
- Wenn ein Punkt der Halbebene ist, dann gilt und .
Beweis des Satzes IV.1
Fehlanzeige
Das Axiom von Pasch
- Was Axiomatik ist und wie man Axiome zu formulieren hat, das ist erst gegen Ende des 19. Jh. von Pasch gezeigt worden; von ihm lernten es die italienischen Geometer und lernte es Hilbert.
Hans Freudenthal, Mathematik als pädagogische Aufgabe, Stuttgart 1973, S. 14)
- Was Axiomatik ist und wie man Axiome zu formulieren hat, das ist erst gegen Ende des 19. Jh. von Pasch gezeigt worden; von ihm lernten es die italienischen Geometer und lernte es Hilbert.
Konvexe Punktmengen
Definition IV.3: (konvexe Punktmenge)
- Eine Menge von Punkten heißt konvex, wenn mit je zwei Punkten und dieser Menge die gesamte Strecke zu gehört.