Geradenspiegelungen (2012 13): Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 13. November 2012, 14:46 Uhr

Inhaltsverzeichnis

1 Ideen zur Heranführung an die Geradenspiegelung
2 Konstruktion des Bildes eines Punktes bei einer Spiegelung an der Geraden
- 2.1 Reduktion der großen Idee Geradenspiegelung auf: Konstruktion des Bildes eines Punktes bei einer Geradenspiegelung
  - 2.1.1 Übungsaufgabe:
3 Definition des Begriffs
- 3.1 Definition 2.1: (Spiegelung an der Geraden )
  - 3.1.1 Bemerkung --*m.g.* 14:46, 13. Nov. 2012 (CET)
- 3.2 Beweis von Satz 2.1:
4 Eindeutige Bestimmtheit von Geradenspiegelungen
- 4.1 Bestimmung über die Spiegelgerade
  - 4.1.1 Satz 2.2
  - 4.1.2 Satz 2.3

Ideen zur Heranführung an die Geradenspiegelung

Idee der Symmetrie

Die Applikation wurde im WS 2010/11 von tutorin Anne generiert.

Verwendung eines halbdurchlässigen Spiegels

Falten

Leider sind meine Bilder von der Qualität her zu schlecht geworden, als dass sie hier veröffentlicht werden könnten. Wer hilft? --*m.g.* 13:04, 27. Okt. 2011 (CEST)

Konstruktion des Bildes eines Punktes $\ P$ bei einer Spiegelung an der Geraden $\ g$

Reduktion der großen Idee Geradenspiegelung auf: Konstruktion des Bildes eines Punktes bei einer Geradenspiegelung

Übungsaufgabe:

Es sei $\ P$ ein Punkt der Ebene der nicht zur Geraden $\ g$ dieser Ebene gehört. Erstellen Sie eine Konstruktionsbeschreibung für die Konstruktion des Bildes von $\ P$ bei der Spiegelung an $\ g$ . Begründen Sie jeweils die Korrektheit eines jeden Ihrer Konstruktionsschritte.

Konstruktion des Bildes eines Punktes $\ P$ bei der Spiegelung an einer Geraden $\ g$ , $(P \notin g)$
Nr.	Beschreibung des Schrittes	Genauere Beschreibung	Begründung der Korrektheit des Schrittes
1.	Lotgerade von P auf g	Fällen des Lotes von P auf die Gerade g	Existenz und Eindeutigkeit des Lotes--Beveggie 17:06, 10. Nov. 2012 (CET)
2.	Lotfußpunkt L	Einzeichnen des Lotfußpunktes L als Schnittpunkt der Geraden g mit der Lotgeraden von P auf g	Existenz und Eindeutigkeit des Lotes, des Lotfußpunktes--Beveggie 17:06, 10. Nov. 2012 (CET)
3.	IPLI auf LP- abtragen, Erhalten von P'	Die Strecke IPLI wird auf dem Strahl LP- abgetragen, dadurch erhält man das Bild von P bei Spiegelung an g nämlich P'	Axiom vom Lineal, Abstandsaxiom--Beveggie 17:06, 10. Nov. 2012 (CET)

Bemerkung zum Nachweis der Korrektheit des jeweiligen Schrittes: Gemeint ist eine Begründung, aus der hervorgeht, dass der jeweilige Schritt (ggf. eindeutig) ausführbar ist.

Definition des Begriffs

Definition 2.1: (Spiegelung an der Geraden $\ g$ )

Es sei $\ g$ eine Gerade. Unter der Spiegelung $\ S_g$ an der Geraden $g$ versteht man eine Abbildung der Ebene auf sich, für die gilt: $\forall P\ \not\in g: g \operatorname{ist Mittelsenkrechte von} \overline{PS_g(P)}$ .

Bemerkung --m.g. 14:46, 13. Nov. 2012 (CET)

$P \in g$ müssen wir in der Definition berücksichtigen.

Beweis von Satz 2.1:

Es seien $\ A$ , $\ B$ zwei Punkte, die an einer Geraden $\ g$ auf ihre Bilder $\ A'$ und $\ B'$ gespiegelt werden.

Wir unterscheiden drei Fälle:

--Jessy* 09:02, 7. Nov. 2012 (CET): Müsste man nicht jedesmal noch unterscheiden ob koll(B,A,B') oder nkoll(B,A,B') gilt?

Fall 1

$\ A, B$ $\in$ $\ g$

Beweis:

Fall 2

$\ A$ $\in$ $\ g$ , $\ B$ $\notin$ $\ g$

Beweis:

Fall 3

$\ A, B$ $\notin$ $\ g$ , $A$ und $B$ liegen in derselben Halbebene bezüglich $g$

Beweis:

--Jessy* 09:35, 7. Nov. 2012 (CET)

Fall 4

$\ A, B$ $\notin$ $\ g$ , $A$ und $B$ liegen in verschiedenen Halbebenen bezüglich $g$

--Jessy* 09:19, 7. Nov. 2012 (CET)

Eindeutige Bestimmtheit von Geradenspiegelungen

Bestimmung über die Spiegelgerade

Unmittelbar einsichtig ist der folgende Satz:

Satz 2.2

Jede Geradenspiegelung ist durch die Angabe ihrer Spiegelachse eindeutig bestimmt.

Satz 2.3

Eine Geradenspiegelung $\ S$ ist durch die Angabe eines Punktes $\ P$ und dem Bild von $\ S(P)$ eindeutig bestimmt, falls $\ P \not= S(P)$ gilt.

@@ Zeile 69: / Zeile 69: @@
 ==Definition des Begriffs==
 =====Definition 2.1: (Spiegelung an der Geraden <math>\ g</math>)=====
-::Es sei <math>\ g</math> eine Gerade. Unter der Spiegelung <math>\ S_g</math> an der Geraden <math>g</math> versteht man eine Abbildung der Ebene auf sich, ...
+::Es sei <math>\ g</math> eine Gerade. Unter der Spiegelung <math>\ S_g</math> an der Geraden <math>g</math> versteht man eine Abbildung der Ebene auf sich, für die gilt: <math>\forall P\ \not\in  g: g \operatorname{ist Mittelsenkrechte von} \overline{PS_g(P)}</math>.
-<math>\forall P\ \not\in  g: g \operatorname{ist Mittelsenkrechte von} \overline{PS_g(P)}</math>
+======Bemerkung --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 14:46, 13. Nov. 2012 (CET)======
+<math>P \in g</math> müssen wir in der Definition berücksichtigen.
 ====Beweis von Satz 2.1:====

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Übungsaufgabe:

Definition des Begriffs

Definition 2.1: (Spiegelung an der Geraden $\ g$ )

Bemerkung --m.g. 14:46, 13. Nov. 2012 (CET)

Beweis von Satz 2.1:

Fall 1

Fall 2

Fall 3

Fall 4

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Bestimmung über die Spiegelgerade

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Bemerkung --*m.g.* 14:46, 13. Nov. 2012 (CET)

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