Version vom 14. November 2012, 18:52 Uhr

Inhaltsverzeichnis

1 Parameterdarstellungen
2 gerichtete Größen, Vektoren
- 2.1 Aufgabe 3.4

Parameterdarstellungen

Aufgabe 3.1

Astroiden sind spezielle Hypozykloiden:

(a) Was muss für $R$ (Radius des großen, festen Kreises), $r$ (Radius des abrollenden kleinen Kreises) und $d$ (Abstand des beschreibenden Punktes zum Mittelpunkt $M_k$ des abrollenden Kreises) gelten, damit eine Astroide entsteht?

(b) Geben Sie eine Parameterdarstellung der Kurve an, auf der sich $M_k$ der Mittelpunkt des abrollden Kreises bewegt. Verwenden Sie als Parameter den Winkel $\varphi$ , dessen Schenkel die positive $x-$ Achse und der Strahl $MM_k^+$ sind.

(c) Wir stellen uns vor, dass mit dem abrollenden Kreis ein kartesisches Koordinatensystem $KS'$ derart mitgeführt wird, dass die Achsen von $KS'$ immer parallel zu den entsprechenden Achsen des globalen Koordinatensystems sind. Der Ursprung von $KS'$ sei $M_k$ :

Geben Sie eine Parameterdarstellung der Kurve an, die der Punkt $P$ bezüglich $KS'$ beschreibt. Verwenden Sie als Parameter die Bogenlänge $\psi$ die der kleine Kreis auf dem großen Kreis abgerollt ist.

(d) Drücken Sie $\psi$ mittels $\varphi$ aus.

(e) Geben Sie eine Parameterdarstellung für die Astroide $a$ an.

(f*) Geben Sie eine Parameterdarstellung für beliebige Hypozykloiden an.

Aufgabe 3.2

Es seien $R \in \mathbb{N}$ und $r \in \mathbb{N}$ die Radien des großen, festen bzw. des kleinen abrollenden Kreises. Berechnen Sie, nach wieviel Umdrehungen des kleinen Kreises um seinen Mittelpunkt die entsprechende Hypozykloide geschlossen ist.

Aufgabe 3.3

Es sei $P$ eine Punktmasse, die sich in der Ebene $\varepsilon$ gleichförmig auf einer Kreisbahn mit dem Radius $r$ um den Punkt $M \in \varepsilon$ bewegt. Es gilt $\omega = \frac{|\varphi|}{t}$ . Unter $\omega$ versteht man die Winkelgeschwindigkeit dieser Bewegung, wobei $|\varphi|$ die Größe des überstrichenen Winkels und $t$ die dafür benötigte Zeit in Sekunden ist. $P$ möge sich mit einer Frequenz von 50 Umdrehungen pro Sekunde bewegen. Geben Sie eine Parameterdarstellung für den Kreis an, auf dem sich $P$ bewegt. Verwenden Sie als Parameter die Zeit $t$ .

gerichtete Größen, Vektoren

Aufgabe 3.4

Warum gelten gleichförmige Kreisbewegungen als beschleunigte Bewegungen?

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-=Aufgabe 3.1=
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+==Aufgabe 3.1==
 Astroiden sind spezielle Hypozykloiden:<br />
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 (e) Geben Sie eine Parameterdarstellung für die Astroide <math>a</math> an.<br /><br />
 (f*) Geben Sie eine Parameterdarstellung für beliebige Hypozykloiden an.
-=Aufgabe 3.2=
+==Aufgabe 3.2==
 Es seien <math>R \in \mathbb{N}</math> und <math>r \in \mathbb{N}</math> die Radien des großen, festen bzw. des kleinen abrollenden Kreises. Berechnen Sie, nach wieviel Umdrehungen des kleinen Kreises um seinen Mittelpunkt die entsprechende Hypozykloide geschlossen ist.
-=Aufgabe 3.3=
+==Aufgabe 3.3==
 Es sei <math>P</math> eine Punktmasse, die sich in der Ebene <math>\varepsilon</math> gleichförmig auf einer Kreisbahn mit dem Radius <math>r</math> um den Punkt <math>M \in \varepsilon</math> bewegt. Es gilt <math>\omega = \frac{|\varphi|}{t}</math>. Unter <math>\omega</math> versteht man die Winkelgeschwindigkeit dieser Bewegung, wobei <math>|\varphi|</math> die Größe des überstrichenen Winkels und <math>t</math> die dafür benötigte Zeit in Sekunden ist. <math>P</math> möge sich mit einer Frequenz von 50 Umdrehungen pro Sekunde bewegen. Geben Sie eine Parameterdarstellung für den Kreis an, auf dem sich <math>P</math> bewegt. Verwenden Sie als Parameter die Zeit <math>t</math>.
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+==Aufgabe 3.4==
+Warum gelten gleichförmige Kreisbewegungen als beschleunigte Bewegungen?
-=Aufgabe 3.4=
+<!--- hier drunter nichts eintragen --->
+[[Kategorie:Linalg]]
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Serie 03 12 13: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 14. November 2012, 18:52 Uhr

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gerichtete Größen, Vektoren

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