Isomorphie von Gruppen 2012 13: Unterschied zwischen den Versionen

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Behauptung: <math>\varphi</math> ist ein Gruppenisomorphismus von <math>\left(\mathbb{P}_2, +\right)</math> auf <math>\left(\mathbb{R}^2, \oplus\right)</math>
 
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Aktuelle Version vom 12. Dezember 2012, 18:44 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Definition

Definition

(Gruppenisomorphismus)
Es seien \left(G, \oplus \right) und \left(H, \otimes \right) zwei Gruppen. Wenn eine Bijektion \varphi von G auf H derart existiert, dass
\forall a, b \in G: \varphi(a \oplus b) = \varphi(a) \otimes \varphi(b) gilt, dann sind die beiden Gruppen \left(G, \oplus \right) und \left(H, \otimes \right) isomorph zueinander. Die Abbildung \varphi heißt Gruppenisomorphismus.

Beispiele

Vierergruppen

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Pfeilklassen der Ebene und \mathbb{R}^2

Wir legen der Ebene ein kartesisches Koordinatensystem K mit dem Koordinatenursprung O zugrunde. Wir repräsentieren jetzt jede Pfeilklasse durch ihren Repräsentanten mit dem Anfangspunkt 0. Jetzt definiren wir die folgende Abbildung \varphi von der Menge der Pfeilklassen auf \mathbb{R}^2:

  • \varphi (\vec{OP}) := \begin{pmatrix} x_P \\ y_P \end{pmatrix} mit x_p, y_P sind die Kordnaten von P bzgl. K.

Behauptung: \varphi ist ein Gruppenisomorphismus von \left(\mathbb{P}_2, +\right) auf \left(\mathbb{R}^2, \oplus\right)

Pfeilklassen des Raumes und \mathbb{R}^3

analog zum zweidimensionalen Fall

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