Isomorphie von Gruppen 2012 13

Definition Definition (Gruppenisomorphismus) Es seien $\left(G, \oplus \right)$ und $\left(H, \otimes \right)$ zwei Gruppen. Wenn eine Bijektion $\varphi$ von $G$ auf $H$ derart existiert, dass $\forall a, b \in G: \varphi(a \oplus b) = \varphi(a) \otimes \varphi(b)$ gilt, dann sind die beiden Gruppen $\left(G, \oplus \right)$ und $\left(H, \otimes \right)$ isomorph zueinander. Die Abbildung $\varphi$ heißt Gruppenisomorphismus. Beispiele Vierergruppen ergänzen Sie selbst ... Pfeilklassen der Ebene und $\mathbb{R}^2$ Wir legen der Ebene ein kartesisches Koordinatensystem $K$ mit dem Koordinatenursprung $O$ zugrunde. Wir repräsentieren jetzt jede Pfeilklasse durch ihren Repräsentanten mit dem Anfangspunkt $0$. Jetzt definiren wir die folgende Abbildung $\varphi$ von der Menge der Pfeilklassen auf $\mathbb{R}^2$: $\varphi (\vec{OP}) := \begin{pmatrix} x_P \\ y_P \end{pmatrix}$ mit $x_p, y_P$ sind die Kordnaten von $P$ bzgl. $K$. Behauptung: $\varphi$ ist ein Gruppenisomorphismus von $\left(\mathbb{P}_2, +\right)$ auf $\left(\mathbb{R}^2, \oplus\right)$ Pfeilklassen des Raumes und $\mathbb{R}^3$ analog zum zweidimensionalen Fall