Lineare Abbildungen, Vektorraumisomorphismus 2012 13: Unterschied zwischen den Versionen
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Man beweise: <math>\varphi</math> ist lineare Abbildung<br /><br /> | Man beweise: <math>\varphi</math> ist lineare Abbildung<br /><br /> | ||
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+ | ==== Drehungen um den Ursprung des Koordinatensystems ==== | ||
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<u>Drehung der kanonischen Basisvektoren</u><br /> | <u>Drehung der kanonischen Basisvektoren</u><br /> | ||
<math> \vec{i} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \rightarrow \varphi( \vec{i}) = \begin{pmatrix} cos \alpha \\ sin \alpha \end{pmatrix}</math><br /><br /> | <math> \vec{i} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \rightarrow \varphi( \vec{i}) = \begin{pmatrix} cos \alpha \\ sin \alpha \end{pmatrix}</math><br /><br /> | ||
<math> \vec{j} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \rightarrow \varphi( \vec{j}) =\begin{pmatrix} -sin \alpha \\ cos \alpha \end{pmatrix}</math><br /><br /> | <math> \vec{j} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \rightarrow \varphi( \vec{j}) =\begin{pmatrix} -sin \alpha \\ cos \alpha \end{pmatrix}</math><br /><br /> | ||
[[Bild:Drehung_kanonische_Basis.JPG|300px]]<br /><br /> | [[Bild:Drehung_kanonische_Basis.JPG|300px]]<br /><br /> | ||
− | <u>Drehung anderer Vektoren</u><br /> | + | <u>Drehung anderer Vektoren:</u><br /> |
− | <math> \vec{x} \rightarrow \varphi( \vec{x | + | <math> \vec{x} \rightarrow \varphi( \vec{x} )</math><br /><br /> |
− | <math> \vec{x} = \lambda \vec{i} + \mu \vec{j} \rightarrow \varphi( \vec{x | + | <math> \vec{x} = \lambda \vec{i} + \mu \vec{j} \rightarrow \varphi( \vec{x}) = \varphi ( \lambda \vec{i}) + \varphi( \mu \vec{j}) = \lambda \cdot \begin{pmatrix} cos \alpha \\ sin \alpha \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} -sin \alpha \\ cos \alpha \end{pmatrix}</math><br /><br /> |
− | Bsp.: <math> \vec{OP} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0,5 \end{pmatrix} </math> wird an O um <math> \ | + | Bsp.: <math> \vec{OP} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0,5 \end{pmatrix} </math> wird an O um <math> \alpha </math> gedreht.<br /> |
<math> \vec{OP} = \lambda \vec{i} + \mu \vec{j} \rightarrow \varphi( \vec{OP'}) = \varphi ( \lambda \vec{i}) + \varphi( \mu \vec{j}) = \lambda \cdot \begin{pmatrix} cos \alpha \\ sin \alpha \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} -sin \alpha \\ cos \alpha \end{pmatrix} \rightarrow 2 \cdot \begin{pmatrix} cos \alpha \\ sin \alpha \end{pmatrix} + 0,5 \cdot \begin{pmatrix} -sin \alpha \\ cos \alpha \end{pmatrix}</math><br /><br /> | <math> \vec{OP} = \lambda \vec{i} + \mu \vec{j} \rightarrow \varphi( \vec{OP'}) = \varphi ( \lambda \vec{i}) + \varphi( \mu \vec{j}) = \lambda \cdot \begin{pmatrix} cos \alpha \\ sin \alpha \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} -sin \alpha \\ cos \alpha \end{pmatrix} \rightarrow 2 \cdot \begin{pmatrix} cos \alpha \\ sin \alpha \end{pmatrix} + 0,5 \cdot \begin{pmatrix} -sin \alpha \\ cos \alpha \end{pmatrix}</math><br /><br /> | ||
<math> \vec{OP'} = \begin{pmatrix} cos \alpha & -sin \alpha\\ sin \alpha & cos \alpha \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0,5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2cos \alpha -0,5sin \alpha\\ 2sin \alpha + 0,5cos \alpha \end{pmatrix}</math><br /><br /> | <math> \vec{OP'} = \begin{pmatrix} cos \alpha & -sin \alpha\\ sin \alpha & cos \alpha \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0,5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2cos \alpha -0,5sin \alpha\\ 2sin \alpha + 0,5cos \alpha \end{pmatrix}</math><br /><br /> | ||
<u>Drehungsmatrix:</u><br /> | <u>Drehungsmatrix:</u><br /> | ||
− | <math>\begin{pmatrix} cos \alpha & -sin \alpha\\ sin \alpha & cos \alpha \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}</math><br /> | + | <math>\begin{pmatrix} cos \alpha & -sin \alpha\\ sin \alpha & cos \alpha \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}</math><br /><br /> |
+ | --[[Benutzer:Jessy*|Jessy*]] 16:47, 8. Jan. 2013 (CET) | ||
==Geradenspiegelung== | ==Geradenspiegelung== |
Version vom 8. Januar 2013, 17:47 Uhr
DefinitionDefinition (lineare Abbildung) Beispielesenkrechte Parallelprojektion auf die x-y-Ebene
Drehung
Drehungen um den Ursprung des Koordinatensystems
Drehung der kanonischen Basisvektoren GeradenspiegelungZentrische StreckungIsomorphe VektorräumeDefinition Zwei Vektorräume sind isomorph zu einander, wenn sie durch eine bijektive lineare Abbildung aufeinander abgebildet werden können. |