Lösung von Aufgabe 7.10: Unterschied zwischen den Versionen

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| (I), Existenzbeweis, Def. (zw)
 
| (I), Existenzbeweis, Def. (zw)
 
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Version vom 24. Juni 2010, 17:19 Uhr

Beweisen Sie: Jede Strecke hat höchstens einen Mittelpunkt. 


A--M--B

Voraussetzung: koll(A, M, B), zw (A, M, B), \overline{AM} = \overline{MB}

(gemeint ist: \vert AM \vert = \vert MB \vert) --Sternchen 13:25, 10. Jun. 2010 (UTC)

zu zeigen: Es gibt nur einen Punkt M, auf den die o.g. Sachverhalte zutreffen.

M = Mittelpunkt, da Definition III.1: (Mittelpunkt einer Strecke)

\overline{AM} ist eindeutig für \overline{AB} definiert Axiom II.1: (Abstandsaxiom)

--Nicola 13:52, 6. Jun. 2010 (UTC)


noch ein Versuch:
Satz III.1: Jede Strecke hat einen und nur einen Mittelpunkt.
1. Existenzbeweis bereits in der Vorlesung geführt.
2. Eindeutigkeitsbeweis: Jede Strecke hat höchstens einen Mittelpunkt.
Annahme: Es existieren zwei verschiedene Mittelpunkte M_1 und M_2 , die Element von \overline { AB } sind.

Beweis
Nr. Beweisschritt Begründung
(I) \exist M_1 \in \overline { AB }: \left| AM_1 \right| = \left| M_1B \right|
\exist M_2 \in \overline { AB }: \left| AM_2 \right| = \left| M_2B \right| 		Annahme
(II) \operatorname{Zw} \left( A, M_1, B \right)
\operatorname{Zw} \left( A, M_2, B \right) 		(I), Existenzbeweis, Def. (zw)
(III) \left| AM_1 \right| + \left| M_1B \right| = \left| AB \right|
\left| AM_2 \right| + \left| M_2B \right| = \left| AB \right| 		Def (zw), (II)
(IV) 2\left| AM_1 \right| = \left| AB \right|
2\left| AM_2 \right| = \left| AB \right| 		(I), (III), Rechnen in \mathbb{R}
(V) \left| AM_1 \right|= {\left| AB \right| \over 2}
\left| AM_2 \right|= {\left| AB \right| \over 2} 		Rechnen in \mathbb{R} , (IV)
(VI) \left| AM_1 \right|= \left| AM_2 \right| (V), Rechnen in \mathbb{R}
(VII) M_1 \equiv M_2
Widerspruch zur Annahme M_1 \not\equiv M_2
Es existiert höchstens ein Mittelpunkt der Strecke \overline { AB } . 		(VI)

--Maude001 13:16, 20. Jun. 2010 (UTC)

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