Lösung von Aufgabe 7.10: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 8. Juli 2010, 10:57 Uhr

Beweisen Sie: Jede Strecke hat höchstens einen Mittelpunkt.

Die Lösung von Maude001 ist korrekt - super! --Schnirch 09:57, 8. Jul. 2010 (UTC)

A--M--B

Voraussetzung: koll(A, M, B), zw (A, M, B), $\overline{AM}$ = $\overline{MB}$

(gemeint ist: $\vert AM \vert = \vert MB \vert$ ) --Sternchen 13:25, 10. Jun. 2010 (UTC)

zu zeigen: Es gibt nur einen Punkt M, auf den die o.g. Sachverhalte zutreffen.

M = Mittelpunkt, da Definition III.1: (Mittelpunkt einer Strecke)

$\overline{AM}$ ist eindeutig für $\overline{AB}$ definiert Axiom II.1: (Abstandsaxiom)

--Nicola 13:52, 6. Jun. 2010 (UTC)

noch ein Versuch:
Satz III.1: Jede Strecke hat einen und nur einen Mittelpunkt.
1. Existenzbeweis bereits in der Vorlesung geführt.
2. Eindeutigkeitsbeweis: Jede Strecke hat höchstens einen Mittelpunkt.
Annahme: Es existieren zwei verschiedene Mittelpunkte $M_1$ und $M_2$ , die Element von $\overline { AB }$ sind.

Beweis
Nr.	Beweisschritt	Begründung
(I)	$\exist M_1 \in \overline { AB }: \left\| AM_1 \right\| = \left\| M_1B \right\|$ $\exist M_2 \in \overline { AB }: \left\| AM_2 \right\| = \left\| M_2B \right\|$	Annahme
(II)	$\operatorname{Zw} \left( A, M_1, B \right)$ $\operatorname{Zw} \left( A, M_2, B \right)$	(I), Existenzbeweis, Def. (zw)
(III)	$\left\| AM_1 \right\| + \left\| M_1B \right\| = \left\| AB \right\|$ $\left\| AM_2 \right\| + \left\| M_2B \right\| = \left\| AB \right\|$	Def (zw), (II)
(IV)	$2\left\| AM_1 \right\| = \left\| AB \right\|$ $2\left\| AM_2 \right\| = \left\| AB \right\|$	(I), (III), Rechnen in $\mathbb{R}$
(V)	$\left\| AM_1 \right\|= {\left\| AB \right\| \over 2}$ $\left\| AM_2 \right\|= {\left\| AB \right\| \over 2}$	Rechnen in $\mathbb{R}$ , (IV)
(VI)	$\left\| AM_1 \right\|= \left\| AM_2 \right\|$	(V), Rechnen in $\mathbb{R}$
(VII)	$M_1 \equiv M_2$ Widerspruch zur Annahme $M_1 \not\equiv M_2$ Es existiert höchstens ein Mittelpunkt der Strecke $\overline { AB }$ .	(VI)

--Maude001 13:16, 20. Jun. 2010 (UTC)

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 Beweisen Sie: Jede Strecke hat höchstens einen Mittelpunkt.
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