Lösung von Aufgabe 1.4 (WS 16 17): Unterschied zwischen den Versionen
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Zu <math>S_1</math>: Laut des [[w:de:Winkelsumme|Innenwinkelsatzes]] für Vierecke beträgt die Summe der Innenwinkel <math>360^\circ</math>, somit hat ein Dreieck mit vier gleich großen Winkeln ([[w:de:Kongruenz (Geometrie)|„kongruent“]] kenne ich nur für geometrische Figuren, bei Winkeln hört sich das für mich komisch an) vier Winkel mit je <math>\frac{360^\circ}{4} = 90^\circ</math>, ist also ein Rechteck. | Zu <math>S_1</math>: Laut des [[w:de:Winkelsumme|Innenwinkelsatzes]] für Vierecke beträgt die Summe der Innenwinkel <math>360^\circ</math>, somit hat ein Dreieck mit vier gleich großen Winkeln ([[w:de:Kongruenz (Geometrie)|„kongruent“]] kenne ich nur für geometrische Figuren, bei Winkeln hört sich das für mich komisch an) vier Winkel mit je <math>\frac{360^\circ}{4} = 90^\circ</math>, ist also ein Rechteck. | ||
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Zu <math>S_2</math>: Vierecke mit gleich langen sich halbierenden Diagonalen werden von den Diagonalen in vier Dreiecke mit den folgenden Eigenschaften aufgeteilt: | Zu <math>S_2</math>: Vierecke mit gleich langen sich halbierenden Diagonalen werden von den Diagonalen in vier Dreiecke mit den folgenden Eigenschaften aufgeteilt: | ||
* Alle vier Dreiecke sind gleichschenklig, da die Diagonalen und somit auch die Diagonalhälften gleich lang sind. | * Alle vier Dreiecke sind gleichschenklig, da die Diagonalen und somit auch die Diagonalhälften gleich lang sind. | ||
Version vom 25. Oktober 2016, 12:31 Uhr
Prüfen Sie, welche der folgenden Mengen identisch sind und welche Teilmengenbeziehungen bestehen.
Menge aller Vierecke mit vier kongruenten Winkeln
Menge aller Vierecke mit gleich langen, einander halbierenden Diagonalen
Menge aller Vierecke mit zwei Paaren paralleler Gegenseiten und einem rechten Winkel
: Laut des 
, somit hat ein Dreieck mit vier gleich großen Winkeln (
, ist also ein Rechteck.
Zu 
: Vierecke mit gleich langen sich halbierenden Diagonalen werden von den Diagonalen in vier Dreiecke mit den folgenden Eigenschaften aufgeteilt:
des einen Dreiecks plus den beiden gleich großen Basiswinkeln des anderen Dreiecks 
als 
. Da ein Winkel des großen Dreiecks sich aus 
zusammensetzt, ist das große Dreieck also ein rechtwinkliges Dreieck. Da das für alle Paarungen von nebeneinanderliegenden Dreiecken gilt, sind die vier Innenwinkel des gesamten Vierecks rechtwinklig
: Da das Viereck zwei Paare paralleler Gegenseiten besitzt, ist es also ein Parallelogramm. Im Parallelogramm 
.
. Die Umkehrung gilt zwar ebenso, auf den Beweis der Umkehrung verzichte ich an dieser Stelle aber.)
